ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrale de tannx sur l'intervalle [0, π/4]       niveau TerS          voir aussi...

Pour tout entier n de N, on considère l'intégrale :

1°) Calculer ao, a1 et a2.
       Pour le calcul de a2, on rappelle que la fonction dérivée de tan est 1 + tan2.

2°) a - Établir la relation de récurrence :

     b - Vérifier, grâce, à cette relation, votre calcul de a2.

3°) Calculer a5.

4°) Comparer an et an+1. Justifier que la suite (an) est convergente.

5°) Quelle est la limite de la suite (an) ?
    
  On utilisera la relation de récurrence..

Si vous séchez après avoir bien cherché : 
© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) ao = π/4. Concernant a1, en écrivant tan t =sint/cost et en posant u = cost, on a du = - sint.dt, d'où :

 

Concernant a2 et sachant que (tan t)' = 1 + tan2t, ce qui se vérifie immédiatement en dérivant sint/cost, on peut écrire :

2°) a-  On peut écrire ici :

La première intégrale n'est autre que an-2. La seconde intégrale devient très simple en posant cette fois u = tan t, d'où le résultat annoncé.

b - Pour n = 2, la relation de récurrence fournit a2 = 1/(2 - 1) - ao = 1 - π/4 : c'est bien le résultat attendu.

3°) a5 = 1/(5 - 1) - a3 = 1/4 - [1/(3 - 1) - a1] = ln2 - 1/4.

4°)  Sur l'intervalle [0, π/4], on a 0 tan t 1, la suite des an est donc positive et an+1 an puisque :

tann+1t = tannttant tannt

La suite (an) est donc décroissante, minorée par 0 : par conséquent elle converge et sa limite L est positive ou nulle.

5°)  Les suites (an) et (an-2) ont la même limite, à savoir L. D'après 2°, pour n infini, on aura L = 0 - L, donc L = 0.

Une suite convergente majorée ou minorée par un nombre M ne converge bien évidemment pas nécessairement vers M ! Par exemple un = 1/n + 1/2 est minoré par M = 0 mais converge vers 1/2.


© Serge Mehl - www.chronomath.com