ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intégrale de tannx sur l'intervalle [0, π/4]       niveau TerS        »  voir aussi...

Pour tout entier n de N, on considère l'intégrale :

1°) Calculer a_o, a₁ et a₂.
     » Pour le calcul de a₂, on rappelle que la fonction dérivée de tan est 1 + tan².

2°) a - Établir la relation de récurrence :

     b - Vérifier, grâce, à cette relation, votre calcul de a₂.

3°) Calculer a₅.

4°) Comparer a_n et a_n+1. Justifier que la suite (a_n) est convergente.

5°) Quelle est la limite de la suite (a_n) ?
     » On utilisera la relation de récurrence..

1°) a_o = π/4. Concernant a₁, en écrivant tan t =sint/cost et en posant u = cost, on a du = - sint.dt, d'où :

Concernant a₂ et sachant que (tan t)' = 1 + tan²t, ce qui se vérifie immédiatement en dérivant sint/cost, on peut écrire :

2°) a-  On peut écrire ici :

La première intégrale n'est autre que a_n-2. La seconde intégrale devient très simple en posant cette fois u = tan t, d'où le résultat annoncé.

b - Pour n = 2, la relation de récurrence fournit a₂ = 1/(2 - 1) - a_o = 1 - π/4 : c'est bien le résultat attendu.

3°) a₅ = 1/(5 - 1) - a₃ = 1/4 - [1/(3 - 1) - a₁] = ln√2 - 1/4.

4°)  Sur l'intervalle [0, π/4], on a 0 ≤ tan t ≤ 1, la suite des a_n est donc positive et a_n+1 ≤ a_n puisque :

tanⁿ⁺¹t = tanⁿt × tant ≤ tanⁿt

La suite (a_n) est donc décroissante, minorée par 0 : par conséquent elle converge et sa limite L est positive ou nulle.

5°)  Les suites (a_n) et (a_n-2) ont la même limite, à savoir L. D'après 2°, pour n infini, on aura L = 0 - L, donc L = 0.

 ➔   Une suite convergente majorée ou minorée par un nombre M ne converge bien évidemment pas nécessairement vers M ! Par exemple u_n = 1/n + 1/2 est minoré par M = 0 mais converge vers 1/2.