ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

On considère la suite numérique (u_n) définie, pour tout n de N*, par la relation de récurrence :

u₁ = 1 , n²u²_n -  (n - 1)²u²_n-1 = n   (n ≥ 2)

et on se propose de prouver la convergence de cette suite de deux manières A et B.

Préliminaire :  

a/ Calculer 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
b/ On pose S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n. Justifier que 2S_n = n(n + 1) et, par conséquent :

S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

A1

Calculer les valeurs exactes de u₂, u₃, u₄, u₅. (Rép. : √3/2, √6/, √10/4, √15/5)

Montrer par récurrence que :

En déduire que la suite  (u_n) est convergente en précisant sa limite. (Rép. : √2/2)

A2 

On pose v_n = n²u²_n pour tout n de N*. Montrer que v_n = S_n.

En déduire v_n puis la convergence de la suite (u_n) vers la limite précédemment calculée.