ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

  Étude d'une suite définie par récurrence       niveau TerS
 
         Récurrence double : #2 , #3 , Autres exemples

On considère la suite numérique (un) définie, pour tout n de N*, par la relation de récurrence :

u1 = 1 , n2u2n -  (n - 1)2u2n-1 = n   (n 2)

et on se propose de prouver la convergence de cette suite de deux manières A et B.

Préliminaire :  

a/ Calculer 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
b/ On pose Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n. Justifier que 2Sn = n(n + 1) et, par conséquent :

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

A1 : Calculer les valeurs exactes de u2, u3, u4, u5. (Rép. : √3/2, √6/, √10/4, √15/5)

Montrer par récurrence que :

En déduire que la suite  (un) est convergente en précisant sa limite. (Rép. : √2/2)

A2 :  On pose vn = n2u2n pour tout n de N*. Montrer que vn = Sn.

En déduire puis la convergence de la suite (un) vers la limite précédemment calculée.


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