ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Conjonctions d'événements & probabilités conditionnelles       extrait bac S - Centres étrangers -session 1997         » autre sujet session 2001

Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :

• la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est à dire sans qu'il y ait eu incident, est égale à 1/50;

• la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme ne se déclenche est égale à 1/500;

• la probabilité qu'un incident se produise est égale à 1/100.

On pourra noter :

• A l'événement : "l'alarme se déclenche"; 

• I  l'événement : " un incident se produit";

• A et I les événement contraires respectifs.

 ➔   Ainsi, par exemple, A∩I est l'événement "l'alarme se déclenche sans qu'il y ait incident". Il ne s'agit pas ici de l'événement conditionnel A / I  qui se lirait "l'alarme se déclenche alors que l'on sait qu'il n'y a pas incident".

1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se déclenche. En déduire la probabilité de l'événement A : "l'alarme se déclenche".

2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ?

3. L'alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ?

4. Hors sujet : Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche au cours de la journée alors que l'on sait qu'il n'y a pas incident ?

1. Il s'agit ici de la probabilité de l'événement I∩A, que l'on peut aussi écrire A∩I. Les événements A et I ne sont pas indépendants (heureusement pour la fiabilité de l'alarme, laquelle, on va le voir, ne doit pas beaucoup inquiéter la concurrence...). Selon les précisions de l'énoncé, on a :

• p(A∩I) = 1/50;

• p(I∩A) = 1/500;

• p(I) = 1/100.

On peut visualiser la situation par un "arbre" :

I est la réunion des deux événements incompatibles I∩A et  I∩A (leur intersection est vide). Ainsi, d'après la formule des probabilités totales :

p(I) = p(I∩A) + p(I∩A)

Donc :

 p(I∩A)  = p(I) - p(I∩A) = 1/100 - 1/500

p(I∩A) = 4/500 = 1/125 ou encore : p( I∩A) = 0,008

De la même façon, l'événement A est la réunion des événement incompatibles I∩A et I∩A  :

p(A) = p(I∩A) + p(I∩A) = 4/500 + 1/50

p(A) = 7/250 ou encore : p(A) = 0,028

2. Le système est mis en défaut si "l'alarme se déclenche sans incident" ou "s'il y a incident sans déclenchement"; ces événement sont incompatibles; par conséquent, en appelant D cet événement, :

p(D) = p(A∩I) + p(I∩A) = 1/50 + 1/500

p(D) = 11/500 ou encore : p(D) = 0,022

 3. L'événement est ici conditionnel; on peut le noter I/A et l'on a :

p(I/A) = p(I∩A)/p(A)

soit :

p(I/A) = 0,008/0,028 = 2/7

 ➔   Remarquons que la probabilité qu'il y ait un incident sachant que l'alarme retentit est faible ! on peut se demander si l'alarme est très fiable... à moins que l'énoncé ne soit pas très cohérent au niveau des statistiques observées ou, pire, si ce corrigé n'est pas faux...

 3. L'événement est encore conditionnel; il s'agit ici de A/I :

p(A/I) = p(A ∩ I)/p(I)

Mais p(I) = 1 - p(I) = 99/100, donc :

p(A/I) = 1/50 × 100/90 = 2/99

Ce résultat est plus rassurant que le précédent.