ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Conjonctions d'événements & probabilités conditionnelles          Extrait sujet bac S - Antilles-Guyane - session 2001            » autre sujet session 1997

Un joueur achète 10 € un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie.

• Il gratte une case sur le billet. il peut alors gagner 100 € avec une probabilité de 1/50, ou bien ne rien gagner. On note G l'événement : "le joueur gagne au grattage".

Il participe ensuite à une loterie avec le même billet (qu'il ait gagné ou non au grattage). Il peut alors gagner 100 €, 200 €, ou rien.

On note :

• L1 l'événement : "le joueur gagne 100 € à la loterie";

• L2 l'événement : "le joueur gagne 200 € à la loterie";

• P l'événement : "le joueur ne gagne rien à la loterie".

Les conditions du jeu sont telles que :

Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100 € à la loterie est 1/70, et la probabilité qu'il gagne 200 € est 1/490.

1. Faire un arbre des événements sur le quel on indiquera les renseignements ci-dessus.

Les résultats aux questions ci-dessous seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

2. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre avec cette valeur.

3. On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique (bilan) du joueur après grattage et loterie (déduction faire du prix du billet). Donner les valeurs possibles de X à l'extrémité de chaque branche de l'arbre.

4. Les statistiques du jeu permettent d'affirmer :

• la probabilité de l'événement "X = 90" est 2/125;
• la probabilité de l'événement "X = 190" est 1/250.

Un joueur a gagné 100 € au grattage :

a/ Montrer que la probabilité qu'il gagne à la loterie est 1/10.

b/ Calculer la probabilité qu'il ne gagne rien à la loterie.

5. Établir la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X.

1.  On a fait apparaître aux extrémités de l'arbre les événements L1, L2 et P; ce sont en fait les événements conditionnés par G et G, ce qui justifie la présence discrète des /G et /.

En vertu des données de l'énoncé, on a :

• p(G) = 1 - p(G) = 49/50;
• p(L1/G) = 1/70;
• p(L2/G) = 1/490.

2. Il s'agit ici de calculer une probabilité conditionnelle qui, avec les notations de l'énoncé est p(P/G). Or, G étant réalisé, le joueur se présentant à la loterie est face à trois événements incompatibles dont la réunion est l'événement certain : L1/G, L3/G et P/. Donc :

p(L1/G) + p(L3/G) + p(P/G) = 1

ainsi : p(P/G) = 1 - 1/70 - 1/490, soit : 

p(P/G) = 241/245

3. le calcul des gains est aisé. 

4.a/ Il s'agit du calcul de la probabilité conditionnelle p(L1/G).

L'observation de l'arbre permet d'écrire :

p(X = 190) = p(G∩L1) + p(G∩L2)
                 = p(G) × p(L1/G) + p() × p(L2/G) 

1/250 = 1/50 × p(L1/G) + 49/50 × 1/490

p(L1/G) = (1/250 -1/500) × 50, soit :

p(L1/G) = 1/10

4.b/ Il s'agit du calcul de la probabilité conditionnelle p(P/G). L'observation de l'arbre permet là encore d'écrire :

p(X = 90) = p(G∩P) + p(G∩L1) = p(G) × p(P/G) + p(G) × p(L1/G)

2/125 = 1/50 × p(P/G) + 49/50 × 1/70, donc p(P/G) =  50 × (2/125 - 7/500), soit :  p(P/G) =  1/10.

5. On a :

• p(X = -10) = p(G∩P) = P(G) × p(P/G) = 49/50 × 241/245 = 241/250;

• p(X = 90) =2/125, donnée de l'énoncé;

• p(X = 190) = 1/250;

• p(X = 290) = 1 - 241/250 - 2/125 - 1/250 = 2/125
  ou bien : p(X = 290) = p(G ∩ L2) = p(G) × p(L2/G) = 1/50 × (1 - 1/10 - 1/10) = 4/250 = 2/125

D'où la loi de X :

 ➔   L'espérance mathématique de X est E(X) = Σx_ip_i. On trouvera facilement :

E(X) = -14/5 = -2,8

Le joueur est donc, en moyenne, perdant. Ce qui est bien normal pour une loterie, les organisateurs n'étant pas des philanthropes...