ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Conjonctions d'événements & probabilités conditionnelles  
      
extrait sujet bac S - Antilles-Guyane - session 2001              autre sujet session 1997

Un joueur achète 10 € un billet permettant de participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie.

Il participe ensuite à une loterie avec le même billet (qu'il ait gagné ou non au grattage). Il peut alors gagner 100 €, 200 €, ou rien.

On note :

Les conditions du jeu sont telles que :

Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité qu'il gagne 100 € à la loterie est 1/70, et la probabilité qu'il gagne 200 € est 1/490.

1. Faire un arbre des événements sur le quel on indiquera les renseignements ci-dessus.

Les résultats aux questions ci-dessous seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

2. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre avec cette valeur.

3. On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique (bilan) du joueur après grattage et loterie (déduction faire du prix du billet). Donner les valeurs possibles de X à l'extrémité de chaque branche de l'arbre.

4. Les statistiques du jeu permettent d'affirmer :

Un joueur a gagné 100 € au grattage :

a/ Montrer que la probabilité qu'il gagne à la loterie est 1/10.

b/ Calculer la probabilité qu'il ne gagne rien à la loterie.

5. Établir la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1.  On a fait apparaître aux extrémités de l'arbre les événements L1, L2 et P; ce sont en fait les événements conditionnés par G et G, ce qui justifie la présence discrète des /G et /.

En vertu des données de l'énoncé, on a :

2. Il s'agit ici de calculer une probabilité conditionnelle qui, avec les notations de l'énoncé est p(P/G). Or, G étant réalisé, le joueur se présentant à la loterie est face à trois événements incompatibles dont la réunion est l'événement certain : L1/G, L3/G et P/. Donc :

p(L1/G) + p(L3/G) + p(P/G) = 1

ainsi : p(P/G) = 1 - 1/70 - 1/490, soit : 

p(P/G) = 241/245

3. le calcul des gains est aisé. 

4.a/ Il s'agit du calcul de la probabilité conditionnelle p(L1/G).

L'observation de l'arbre permet d'écrire :

p(X = 190) = p(GL1) + p(GL2)
                 = p(G) x p(L1/G) + p() x p(L2/G

1/250 = 1/50 x p(L1/G) + 49/50  x 1/490

p(L1/G) = (1/250 -1/500) x 50, soit :

p(L1/G) = 1/10

4.b/ Il s'agit du calcul de la probabilité conditionnelle p(P/G). L'observation de l'arbre permet là encore d'écrire :

p(X = 90) = p(GP) + p(GL1) = p(G) x p(P/G) + p(G) x p(L1/G)

2/125 = 1/50 x p(P/G) + 49/50 x 1/70, donc p(P/G) =  50 x (2/125 - 7/500), soit :  p(P/G) =  1/10.

5. On a :

D'où la loi de X :

xi

-10

90

190

290

 Σpi

p(X = xi)

241/250

2/125

1/250

2/125

1

L'espérance mathématique de X est E(X) = Σxipi. On trouvera facilement :

E(X) = -14/5 = -2,8

Le joueur est donc, en moyenne, perdant. Ce qui est bien normal pour une loterie, les organisateurs n'étant pas des philanthropes...


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