ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Taux d'intérêt simple  #2       TD niveau 2nde/1ère       variante      notion de pourcentage
      
 intérêts simples ou composés                      Outils : notion de taux d'intérêt, équation du second degré ou forme canonique du trinôme

Cette histoire se passe dans les années 1970-1980 à une époque où l'inflation très élevée voyait aussi l'avènement de taux d'intérêt pouvant dépasser les 10% ! 

Une personne a placé un capital de 10000 à un taux initial t% que vous devez calculer sachant que :

  La personne a d'abord placé les 10000 à t% pendant six mois.

  La valeur alors acquise (capital + intérêt) a été placée à un taux plus rémunérateur : 4% de plus et ce pendant dix-huit mois à intérêts simples.

  à la fin de la seconde période les intérêts acquis (au total sur les 2 ans) s'élevaient à 2205 .

Un taux s'exprime en pourcentages. Par exemple, dire que l'on place une somme d'argent à 3% (3 pour cent) signifie que 100 euros rapporte 3 € en un an. Un taux de deux points supérieur signifierait dans ce cas un taux de 5% (3 + 2).


 

Solution :    

Les 10000 placés pendant 6 mois (une demi-année) rapportent en euros :

18 mois représentent 1,5 année. La valeur acquise, soit 10000 + 50t, rapporte alors :

1,5(10 000 + 50t)(t + 4)/100

On est ainsi amené à résoudre l'équation : 1,5(10 000 + 50t)(t + 4)/100 = 2205, soit (10 000 + 50t)(t + 4) = 147000, équation du second degré qui se ramène à :

t2 + 204t - 2140 = 0

La solution cherchée doit être positive. En classe de 1ère, vous trouverez facilement t = 10 en résolvant cette équation. Le taux cherché est donc 10%.

 En classe de seconde, on pourra utiliser la forme canonique du trinôme. On peut écrire :

t2 + 204t - 2140 = (t + 102)2 - 1022- 2140 = (t + 102)2 - 12544 = (t + 102)2 - 1122

L'équation se ramène donc à  : (t + 102)2 = 1122,  ce qui équivaut à t + 102 = ± 112. D'où t = 112 - 102 = 10 ou bien t = -112 - 102. Cette dernière possibilité négative est à rejeter : le taux cherché est 10%.


 


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