ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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On suppose que la Terre est une sphère parfaite de 6378 km de rayon.
Jusqu'à quelle distance, calculée au sol, deux personnes situées à sa surface (sans obstacles) pourraient-elles s'apercevoir (à l'aide d'une longue vue ou d'une puissante paire de jumelles) en admettant que, quitte à les poser sur un tabouret, leurs yeux sont à 2 m du sol et que la visibilité est excellente ?
Petit rappel :
On sait que la circonférence d'un
cercle de rayon R est donnée par la formule L = 2πR.
Considérons la figure ci-dessus où est dessiné un cercle (c) de centre O, de
rayon R.
♦ Au collège l'angle ^MOH est exprimé en degrés. Justifier que pour des raisons de proportionnalité, la mesure de l'arc mH est donnée par la formule : L × α°/360 = 2πR × α°/360 = πR × α°/180.
♦ Au delà du collège, l'angle ^MOH peut être exprimé en radians : la mesure de l'arc mH devient alors plus simplement 2πR × α/2π = Rα.
Les deux personnages
de notre petit problème sont sur un
unique grand cercle (c) de la sphère terrestre
(méridien). M et N
désignent (les yeux de) nos observateurs.
Le point le plus éloigné de M visible au sol est H de
sorte que (MH) soit tangente à (c). Ce point correspond à la
ligne
d'horizon de M.
Vu
que M et N sont à la même altitude (2 m), la distance d
cherchée est telle que ^MOH = ^HON.
Par symétrie, d vaut donc deux fois l'arc mH, soit :
en degrés : d = 2πRα°/180 où α° est la mesure en degrés de l'angle ^MOH et R le rayon de la Terre.
en radians : d = Rα où α est la mesure en radians de l'angle ^MOH et R le rayon de la Terre.
cos α = OH/OM = 6378/6378,002 ; on en déduit α avec la calculatrice (en degrés ou en radians suivant votre choix), puis :
d ≅ 10,10 km.
» Rayon de la Terre, distance Terre-Lune
Ligne d'horizon
#2 TD niveau
3è/2nde »