ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 

Ligne d'horizon  #2      TD niveau 3è/2nde      Ligne d'horizon #1    

On suppose que la Terre est une sphère parfaite de 6378 km de rayon.

Jusqu'à quelle distance, calculée au sol, deux personnes situées à sa surface (sans obstacles) pourraient-elles s'apercevoir (à l'aide d'une longue vue ou d'une puissante paire de jumelles) en admettant que, quitte à les poser sur un tabouret, leurs yeux sont à 2 m du sol et que la visibilité est excellente ?

Petit rappel :   

On sait que la circonférence d'un cercle de rayon R est donnée par la formule L = 2πR. Considérons la figure ci-dessus où est dessiné un cercle (c) de centre O, de rayon R.

Au collège l'angle ^MOH est exprimé en degrés. Justifier que pour des raisons de proportionnalité, la mesure de l'arc mH est donnée par la formule : Lα°/360 = 2πRα°/360 = πRα°/180.

Au delà du collège, l'angle ^MOH peut être exprimé en radians : la mesure de l'arc mH devient alors plus simplement 2πRα/2π = Rα.

Les deux personnages de notre petit problème sont sur un unique grand cercle (c) de la sphère terrestre (méridien). M et N désignent (les yeux de) nos observateurs.

Le point le plus éloigné de M visible au sol est H de sorte que (MH) soit tangente à (c). Ce point correspond à la
ligne d'horizon de M.

Vu que M et N sont à la même altitude (2 m), la distance d cherchée est telle que ^MOH = ^HON.

Par symétrie, d vaut donc deux fois l'arc mH, soit :

  • en degrés : d = 2πRα°/180α° est la mesure en degrés de l'angle ^MOH et R le rayon de la Terre.

  • en radians : d = Rαα est la mesure en radians de l'angle ^MOH et R le rayon de la Terre.

        cos α = OH/OM = 6378/6378,002 ; on en déduit α avec la calculatrice (en degrés ou en radians suivant votre choix), puis :

d 10,10 km.

    rayon de la Terre, distance Terre-Lune


© Serge Mehl - www.chronomath.com