ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Intersection de plans  #2       niveau 2nde             #1 , #3 , #4       voir aussi...

Voici une perspective d'un parallélépipède. Pour une meilleure interprétation en 3D, on peut supposer que c'est un pavé droit ou un cube mais cela n'a pas d'importance ici. On devra faire appel aux seules propriétés de plans et droites parallèles.

I est situé sur [DC], J est situé sur [BC] et K sur [DH].

1°) Construire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) avec la face EFGH.
2°) Préciser, sans justifications, l'intersection du plan (IJK) avec la faces ADHE
3°) Construire, en justifiant, l'intersection du plan (IJK) avec les faces ABFE et CBFG.

Si tu sèches après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Réponse :

 

1°) La droite (IJ) du plan (IJK) est située dans le plan (ABCD) parallèle au plan (EFGH). Par conséquent (IJK) coupe ce dernier plan suivant une droite parallèle à (IJ). [IK] est situé dans le plan(DCGH). Prolongeons-le selon la demi-droite [IK) : elle coupe [GH) en L qui est alors un point de (EFGH) et de (IJK). Par conséquent, (IJK)(EFGH) est la parallèle à (IJ) passant par L. Cette parallèle coupe [EH] en M et [EF] en N. L'intersection cherchée est le segment [MN].

Si l'on place différemment les points I, J et K, il se peut que N soit un point de [GF].

2°) (IJK)ADHE = [KM]. Ci-dessous, la figure a été agrandie pour plus de clarté :

3°) L'intersection du plan (IJK) avec ABFE contient le point N. Prolongeons [IJ] inclus dans (ABCD) en la demi-droite [IJ) : elle coupe [AB) en P qui est un point de ABFE. Traçons [NP]. ce segment coupe [BF] en Q. L'intersection cherchée de (IJK) avec la face ABFE est donc [NQ] et (IJK)BCGF est donc [JQ].

On aurait pu également procéder en remarquant que (KM), droite du plan (IJK), est dans le plan (ADHE) parallèle à (CBFG). Par conséquent l'intersection du plan (IJK) avec (CBFG) est la droite parallèle à (KM) passant par J. Cette droite coupe [BF] en Q.


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