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Étude d'un anneau unitaire dans L(E)      niveau Sup/L1      » cours

E désigne un espace vectoriel sur R de dimension 3 rapporté à une base (i,j,k). Le vecteur nul de E est noté 0_E. L'ensemble L(E) des endomorphismes de E, muni de l'addition et de la loi de composition des applications, est un anneau commutatif unitaire d'élément unité id_E : v → v pour tout vecteur v de E, application identique de L(E); on note θ_E l'endomorphisme nul v → 0_E.

Rappel :

• On appelle projecteur un élément p de L(E) vérifiant p o p = p (» voir aussi : exo_lin #6).

• On appelle symétrie (vectorielle) un élément s de L(E) vérifiant s o s = id_E (» voir aussi : exo_lin #6b).

On désigne par φ un endomorphisme non nul de L(E) vérifiant φ o φ o φ = φ; on pourra noter φ o φ o φ = φ³ et φ o φ = φ².

1°/ Justifier par un exemple (très) élémentaire que l'ensemble des endomorphismes de E tels que φ n'est pas vide.

2°/ a) Vérifier qu'une symétrie vectorielle φ vérifie φ³ = φ et qu'il en est ainsi de φ : v → -v qui à tout vecteur v de E associe son opposé.
b) Vérifier qu'un projecteur p vérifie p³ = p. Considérer alors l'endomorphisme p défini par p(i) = j, p(j) = j, p(k) = k. Vérifier que p est un projecteur. Préciser l'image et le noyau de p. Quelle est la nature précise de cette application ?

3°/ Soit k un nombre réel non nul. Montrer que si φ² = kφ, alors k = ±1.

On suppose désormais que φ n'est pas un projecteur (en particulier φ ≠ id_E, sinon φ o φ = φ) et on note Φ le sous-espace vectoriel de L(E) engendré par φ et φ².

4°/ a) Prouver que φ² est un projecteur.
b) Prouver que si φ² est distinct de - φ, alors Φ est de dimension 2.
c) Quelle est la dimension de F lorsque φ² = - φ ?

5°/ On suppose Φ de dimension 2.
a) Prouver que (Φ, +, o) est un anneau commutatif dans L(E) admettant cependant φ² comme élément unité (élément neutre de la loi o dans Φ).

 ➔  Il suit de ce résultat que Φ n'est pas un sous-anneau de L(E) car pour accéder à cette qualité son élément unité devrait être celui de L(E), donc id_E. Rappelons à ce propos qu'un élément neutre pour une loi de composition interne est nécessairement unique. On s'en convaincra aisément en supposant qu'une loi en admette au moins deux.

b) (Φ, +, o) est-il un corps ? (on pourra étudier le cas de l'élément φ - φ²).

c) Rechercher les éléments inversibles de Φ.

1°)

id_E est un endomorphisme de E vérifiant id_E³ = id_E

2°)

a)  Si φ o φ = φ, on a : φ³ = (φ o φ) o φ = id_E o φ = φ. Dans le cas φ(v) = -v pour tout v de E, on aura :

φ³(v) = (φ o φ) (-v) = φ(φ(-v) =  φ(-φ(v)) = φ(-(-v))= φ(v), donc φ³ = φ.

b) Si p est un projecteur, alors p o p = p, d'où p³ = (p o p) o p = p o p = p.     » notion de projecteur #1 , #2

Un endomorphisme étant caractérisé par les images des vecteurs d'une base quelconque, il suffit de vérifier la propriété p² = p sur les vecteurs de la base (i,j,k). On a le schéma i → j → j , j → j → j , k → k → k. On a donc bien p² = p.

• Noyau de p : soit v(x,y,z) relativement à la base (i,j,k) : par linéarité, p(v) = 0 ⇔ x.j + y.j + z.k = 0  ⇔ (x + y).j + z.k = 0. Le noyau de p est donc caractérisé par y = - x et z = 0; on a par conséquent v(x,-x,0) pour tout x réel : le noyau de p est donc la droite vectorielle (sous-espace vectoriel de dimension 1) engendrée par le vecteur n(1,-1,0). Notons-la D.

• L'image de p est le sous-espace de ses vecteurs invariants défini par v(x,y,z), p(v) = v, donc par :

  v(x,y,z), x.j + y.j + z.k = x.i + y.j + z.k

En identifiant, il vient tout simplement p(v) = 0 ⇔ x = 0, plan vectoriel engendré par ( j,k). Notons P ce plan. En conclusion p est le projecteur sur P selon la direction D.     » notion de projecteur #1 , #2

3°)

Les hypothèses impliquent kφ² = φ puis k²φ = φ et par conséquent (k² - 1)φ = θ_E, endomorphisme nul. Si k² - 1 est non nul, φ est alors l'endomorphisme nul de E, ce qui est exclu par hypothèse.

4°/

a) φ² o φ² = φ⁴ = φ³ o φ = φ o φ = φ² ou bien : φ² o φ² = φ² o (φ o φ) = (φ² o φ) o φ = φ³ o φ = φ o φ = φ².

b) Tout élément de Φ est de la forme αφ + βφ², α et β désignant des nombres réels. Par hypothèse φ est non nul. φ² ne l'est pas non plus, sinon, en appliquant φ, φ³ = φ serait nul. Dire que Φ est de dimension 2 signifie que les endomorphismes φ et φ² sont linéairement indépendants. Supposons donc αφ + βφ² = θ_E. Si β est non nul, alors φ² = -(α/β)φ et, selon 3°, -(α/β) = ±1, donc (α/β) = ±1. Si α/β = -1, alors φ est un projecteur : exclu par hypothèse. Si α/β = 1, alors α = β et α(φ + φ²) = θ_E. Il est supposé φ distinct de -φ², par suite α = 0 ainsi que β qui lui est égal : l'espace Φ est de dimension 2.

c) Si φ = - φ²,  φ² est colinéaire à φ; les éléments de Φ sont de la forme αφ. L'endomorphisme φ étant non nul, Φ est de dimension 1.

5°/

a) Il suffit de vérifier que Φ vérifie les propriétés d'un sous-anneau de E. Tout d'abord, Φ est un sous-groupe de L(E) : Φ est stable pour l'addition et l'opposé de tout élément de Φ est également de la forme αφ + βφ². Vérifions que Φ est stable pour la loi de composition des endomorphismes de E sachant que φ² o φ² = φ²  et que φ o φ² = φ³ = φ³ = φ :

 (αφ + βφ²) o (α'φ + β'φ²) = αα'φ² + αβ'φ³ + βα'φ³ + ββ'φ⁴ = (αβ' + βα')φ + (αα' + ββ')φ²

Le composé de deux éléments de Φ est donc bien de la forme souhaitée. La commutativité de la loi o dans Φ est manifeste.

• Élément unité de Φ : on peut remarquer sans passer par un calcul théorique que φ² apparaît neutre pour φ et φ² au regard de la loi de composition des applications vu que φ² o φ = φ et que φ² o φ² = φ². Par suite, vu la linéarité et la commutativité, φ² sera neutre à gauche et à droite pour tous les éléments αφ + βφ² de Φ.

De manière plus théorique, il s'agira de rechercher un élément neutre de la forme αφ + βφ² vérifiant (en se contentant d'un élément neutre à gauche du fait de la commutativité) :

(αφ + βφ²) o (aφ + bφ²) = aφ + bφ² pour tout couple (a,b) de R²

On est conduit à un système linéaire d'inconnues α et β. Le déterminant est a² - b². Lorsque a est distinct de ±b, on obtient le résultat attendu α = 0, β = 1. Lorsque a = ±b, on constate que φ² convient encore, cas a = b = 0 compris.

b) Φ n'est pas un corps; en particulier φ - φ², pourtant non nul, n'admet pas de symétrique car la recherche d'un couple (a,b) vérifiant

(φ - φ²) o (aφ + bφ²) = φ²

ne conduit pas à une solution : le développement du membre de gauche conduit à a - b = 1 et b - a = 0, donc à 0 = 1.

c) Étant donné aφ + bφ² dans Φ distinct de θ_E, il s'agit d'évaluer un élément αφ + βφ² de Φ tel que :

(αφ + βφ²) o (aφ + bφ²) = φ²

Comme précédemment, on est conduit à un système linéaire d'inconnues α et β : aα + bβ = 1 , bα + aβ = 0. Le déterminant de ce système est d = a² - b². Par conséquent si a a ≠ ±b, on obtient une unique solution α  = a/d , β = -b/d,  donc un inverse pour aφ + bφ², à savoir :

Par exemple, l'inverse de 2φ + φ² est :