Cube et orthogonalité                      niveau 1èreS        » section plane d'un cube , section d'une pyramide

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet : D' est le milieu de [EG] et E' est le milieu de [GD].

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Vous pouvez changer le point de vue  et/ou réduire/agrandir le cube en modifiant le vecteur violet :

1. Quelle est la nature du tétraèdre BDEG ?

2. Montrer que la droite (BH) est orthogonale à (EG);

3. Montrer que la droite (BH) est orthogonale à (GD);

4. Soit K le point d'intersection de (BH) avec le plan (EDG); construire ce point dans l'espace.

1. Toutes les arêtes du tétraèdre BEDG sont des diagonales des faces du cube, par suite les faces du tétraèdre sont équilatérales : c'est un tétraèdre régulier.
    

2. Considérons le plan (BFH) : en tant que diagonales du carré EFGH, (FH) est perpendiculaire à (EG). Mais (BF) est orthogonale à la face (EFGH), donc (BF) est orthogonale à (EG). La droite (EG) qui est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (BFH) est donc orthogonale à ce plan, donc, en particulier à (BH).
    

3. Considérer le plan BCH : tout comme précédemment, (CH) est perpendiculaire à (GD) et (BC) est perpendiculaire à la face (CDHG), donc orthogonale à (GD). Par suite (GD) est orthogonale au plan (BCH), donc, en particulier à (BH).
    

4. La droite (BH) étant orthogonale à deux droites sécantes du plan (EDG) est orthogonale à ce plan. K est donc la projection orthogonale de B sur (EDG) et de 1° on déduit que K est l'orthocentre du triangle EDG (c'est aussi le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit). D'où la construction : on trace la médiane (DD') issue de D et la médiane (EE') issue de E, elle se coupent en K.