ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Étude d'une
cubique
niveau Sup (École centrale, RMS 1914)» Voir aussi... |
On considère la courbe (C) définie par l'équation cubique dans un repère orthonormé (O, Ox, Oy) du plan :
x3 + y3 + x2 - 4y2 = 0
1°/ Justifier que l'origine est un point double de la courbe et que cette dernière est unicursale.
2°/ On pose y = tx, t décrivant R. Montrer que (C) admet la représentation paramétrée :
3°/ a) Prouver que l'équation 4t3 - 3t - 8 = 0 ne possède qu'une seule racine réelle α que l'on encadrera à 0,5 près.
b) Prouver que l'équation 2t3 + 12t2 - 1 = 0 possède trois racines réelles β < γ < δ que l'on encadrera également à 0,5 près.
c) Par la méthode de votre choix, calculer β à 0,001 près.
4°/ Établir le tableau présentant les variations de x et y. Préciser les points d'intersection de la courbe (C) avec les axes de coordonnées.
5°/ En remarquant que x et y sont infinis au voisinage de t = -1; étudier les limite en t = -1 de y/x et de x + y. En déduire que la courbe admet une asymptote parallèle à la seconde bissectrice des axes.
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| Solution résumée : |
1°/ l'équation implicite donnée ne contient pas de terme constant et est de plus bas degré 2 en x et y. L'origine est donc un point double. Par conséquent, (C) admet une représentation rationnelle paramétrée
(» courbe unicursale).➔ Le point double en l'origine se reconnaît aussi au moyen des dérivées partielles s'annulant simultanémént : ∂f/∂x = 3x2 + 2x, ∂f/∂y = 3y2 - 8y.
2°/ Coupons la courbe par la droite d'équation y = tx tournant autour de O : en remplaçant y par tx dans l'équation x3 + y3 + x2 - 4y2 = 0, on obtient x3(1 + t3) + x2(1 - 4t2) = 0. Ce qui fournit pour tout x non nul, donc en tout point de (C) autre que O(0,0) et A(0,4) les formules proposées :
Relativement à cette représentation paramétrée, O est obtenu en t = ± 1/2 (point double) et le point A(0,4) apparaît comme point limite pour t infini.
3°/ a) En étudiant les variations de t → f(t) = 4t3 - 3t - 8, on constate que la fonction f est strictement négative pour t ≤ 1. f est continue et strictement croissante sur [1,+∞[ et f([1,+∞[) = [-7,+∞[ contenant 0. f s'annule donc en un unique α de l'intervalle [1,+∞[. f(1,5) = 1 > 0; on a donc 1 < α < 1,5 (on peut vérifier par dichotomie que α ≅ 1,457).
b) Concernant l'équation 2t3 + 12t2 - 1 = 0, on procède de manière analogue en étudiant la fonction t →g(t) = 2t3 + 12t2 - 1 dont la dérivée s'annule en t = 0 et t = - 4. En dressant son tableau de variations et remarquant que g(-1) = 9, g(-1/2) = 7/4, g(0) = - 1 et g(1/2) = 9/4, on pourra conclure à l'existence de trois racines réelles :
c) Par la méthode des pas décimaux, on obtient β = -5,986 à 0,001 près.
4°/ On a :
Au moyen des considérations précédentes, on établit le tableau de variation ci-dessous. Le point double O(0,0) est obtenu en t = ± 1/2 et les limites en t = -1 et pour t infini (x tend vers 0, y tend vers 4) s'obtiennent de façon élémentaire.
On remarque que x3 + y3 + x2 - 4y2 = 0 peut s'écrire x2(x + 1) + y2 (y - 4) = 0 : la courbe passe donc par B(-1,4), point que l'on obtient en résolvant x(t) = -1 conduisant à t = 0 ou t = - 4, c'est à dire aux points C(-1,0) et B(-1,4).
Au moyen du logiciel graphmatica, un zoom au voisinage de y = 4 montre mieux qu'à l'échelle ci-dessous le minimum de y pour t = β : y(β) ≅ 3,990 extrêmement proche de 4 pour x(β) ≅ -2/3.
En O(0,0), point double de la courbe, on vérifiera que y'/x' = ± 1/2. Les tangentes en O sont donc d'équation y = ± x/2.
5°/ La courbe admet deux branches infinies au voisinage de t = -1. Le rapport y/x = tx/x = t tend vers -1. S'il existe une asymptote oblique, son équation sera de la forme y = - x + b. On calcule alors la limite en t = - 1 de y + x : ce qui conduit à y = -x + 1.
