L'aire des trapèzes de base doit être maximale. Calculons cette aire : elle est fonction de x et de l'angle â comme indiqués sur la figure.

• La hauteur sera h = xsinâ;

• La petite base b mesurera 1,5 - 2x;

• La grande base B sera 1,5 - 2x + 2xcosâ.

L'aire A est donnée par la formule bien connue (B + b) × h/2 qui conduit après simplification à :

A = 1,5xsinâ - 2x²sinâ + x²sinâcosâ

On applique la condition nécessaire d'extremum, à savoir :

∂A/∂x = ∂A/∂â = 0

Le calcul des dérivées partielles est simple. On devra trouver :

•  ∂A/∂x = sinâ(1,5 - 4x + 2xcosâ) = 0

•  ∂A/∂â = x(1,5cosâ - 2xcosâ + xcos2â) = 0

Les cas sinâ = 0 et x = 0 étant évidemment à rejeter, on tire de la première condition :

x = 0,75/(2 - cosâ)

et on reporte dans la seconde où l'on remplacera cos2a par 2cos²a - 1. On trouvera sans difficulté la réponse simplissime cosâ = 1/2, correspondant donc à un angle de 60°.

D'où x = 0,5 : on constate donc qu'il faut plier la plaque au 1/3 et au 2/3.

 ➔  Partant d'un volume nul (â = 0), le pliage augmente le volume : notre extremum est plus que certainement un maximum...

Mais on peut vérifier cela en calculant les dérivées partielles d'ordre 2 au point trouvé :

•  ∂²A/∂x² = sinâ(2cosâ - 4) = -3√3/2 < 0

• ∂²A/∂â² = - x(1,5sinâ + 2xsinâ + 2xsin2â) =  -7√3/2

• ∂²A/∂x∂â = cosâ(1,5 - 4x + 2xcosâ) - 2xsin²â =  -3/4

D = ∂²A/∂x² × ∂²A/∂x² - (∂²A/∂x²)² est donc strictement positif avec ∂²A/∂x² > 0 : c'est un maximum.