ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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  Quadrilatère d'aire maximale      TD 2nde/1ère     Triangle d'aire maximale | Périmètre maximal

Dans un disque de rayon R, comment découper une plaque quadrilatérale d'aire maximale ?

Si votre navigateur le permet, voici la même figure générée par Cabri Géomètre dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer les sommets du quadrilatère afin de vous donner une idée de la solution...
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Indications :   

  Justifier par un dessin que toute plaque découpée dans l'intérieur du disque n'est pas solution.

  Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans le bord (c) de la plaque. Avec les notations de la figure ci-contre, montre que l'aire du quadrilatère ABCD est :

BD x (AH + CK)/2       (1)

  Exprime AH et CK au moyen de sinα et déduis de (1) que l'aire du quadrilatère ABCD est :

  Déduire de ce résultat que la solution est une plaque carrée inscrite dans le bord (c) et dont l'aire est 2R2.


On peut aussi, sans passer par la trigonométrie, déduire la solution à partir de la formule (1) : l'aire sera maximale si les longueurs BD et AH + CK sont maximales.

BD et AH + CK ne peuvent excéder le diamètre du cercle. AH + CK égalera un diamètre si et seulement si A et C sont diamétralement opposés. [BD] et [AC] sont alors des diamètres perpendiculaires du cercle : ABCD est un carré.


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