ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrilatère d'aire maximale      TD 2nde/1ère     » Triangle d'aire maximale | Périmètre maximal

Dans un disque de rayon R, comment découper une plaque quadrilatérale d'aire maximale ?

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Vous pouvez déplacer les sommets du quadrilatère afin de vous donner une idée de la solution...

Indications :   

•  Justifier par un dessin que toute plaque découpée dans l'intérieur du disque n'est pas solution.

•  Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans le bord (c) de la plaque. Avec les notations de la figure ci-contre, montre que l'aire du quadrilatère ABCD est :

BD × (AH + CK)/2       (1)

•  Exprime AH et CK au moyen de sinα et déduis de (1) que l'aire du quadrilatère ABCD est :

•  Déduire de ce résultat que la solution est une plaque carrée inscrite dans le bord (c) et dont l'aire est 2R².

 ➔  Sans passer par la trigonométrie, on peut déduire la solution à partir de la formule (1) : l'aire sera maximale si les longueurs BD et AH + CK sont maximales.

BD et AH + CK ne peuvent excéder le diamètre du cercle. AH + CK égalera un diamètre si et seulement si A et C sont diamétralement opposés. [BD] et [AC] sont alors des diamètres perpendiculaires du cercle : ABCD est un carré.