ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Quadrilatère d'aire maximale       TD niveau 2nde/1ère   Triangle d'aire maximale , Périmètre maximal

Dans un disque de rayon R, comment découper une plaque quadrilatérale d'aire maximale.

Indications :   

  Justifier par un dessin que toute plaque découpée dans l'intérieur du disque n'est pas solution.

  Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans le bord (c) de la plaque. Avec les notations de la figure ci-contre, montre que l'aire du quadrilatère ABCD est :

BD x (AH + CK)/2       (1)

  Exprime AH et CK au moyen de sinα et déduis de (1) que l'aire du quadrilatère ABCD est :

  Déduire de ce résultat que la solution est une plaque carrée inscrite dans le bord (c) et dont l'aire est 2R2.


On peut aussi, sans passer par la trigonométrie, déduire la solution à partir de la formule (1) : l'aire sera maximale si les longueurs BD et AH + CK sont maximales. BD et AH + CK ne peuvent excéder le diamètre du cercle. AH + CK égalera un diamètre si et seulement si A et C sont diamétralement opposés. [BD] et [AC] sont alors des diamètres perpendiculaires du cercle : ABCD est un carré.


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