ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Triangles dont les mesures des angles sont des diviseurs de 360         TD niveau 4è/2nde

  Ce petit problème fait partie des Énigmes mathématiques de Charles Lutwidge-Dodgson, alias Lewis Carroll, auteur d'Alice au pays des merveilles. Les prérequis sont le calcul fractionnaire élémentaire, la somme des angles d'un triangle et... un peu de jugeote.

On se propose de rechercher les triangles dont la mesure de chaque angle est un nombre entier diviseur de 360. Par exemple : 60, 60, 60 ou encore 120, 24, 36.

Un procédé par tâtonnements n'est pas très rationnel et coûtera très cher en temps car 360 possède 24 diviseurs ( nombre de diviseurs d'un entier naturel) :

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 40 , 45 , 60 , 72 , 90 , 120 , 180 , 360

L'étude préliminaire ci-dessous permet d'éliminer un grand nombre de cas incompatibles avec la condition élémentaire selon laquelle la somme des mesures des angles égale 180° et conduit à 9 cas.


Un triangle quelconque étant donné, on note x, y et z les mesures de ses angles en degrés. On a x + y + z = 180.

I - Préliminaires :     

1°/  Justifier qu'il existe des entiers a, b et c tels que x = 360/a, y = 360/b et z = 360/c.

3°/  Trois nombres entiers pouvant toujours être ordonnés, on peut supposer x ≤ y ≤ z.
       Sous cette condition, prouver que l'on a alors : b ≤ a  et c ≤ b (et finalement : c ≤ b ≤ a).

4°/  Justifier que c ne peut égaler ni 1, ni 2.

5°/  En remarquant que 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, justifier que c ne peut pas excéder 6 et par conséquent c{3, 4, 5, 6}.

II - Calculs des valeurs possibles de x, y et z :     

1°/  Lorsque c = 6, justifier que 1/a + 1/b = 1/3 avec b = 6 puis que x = y = z = 60°.

2°/  Lorsque c = 3, justifier que 1/a + 1/b = 1/6 avec 7 ≤ b ≤ 12. Les cas b = 7 et b = 11 ne conduisent pas à des nombres entiers. En déduire 4 triplets (x,y,z) acceptables.

Les cas c = 4 et 5 se résolvent de manière similaire. En définitive, on obtient 9 triplets :

(60,60,60) , (72,72,36) , (90,45,45) , (90,60,30) , (90,72,18) , (120,30,30) , (120,36,24) , (120,40,20) , (120,45,15)


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