ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Mouche de La Hire  |
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Il s'agit d'une hypocycloïde dégénérée : elle s'obtient comme lieu géométrique d'un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle (roulette) de rayon double R = 2r. Au début du roulement, on suppose M en un point A :
L'ensemble des points est le diamètre [AB] de la roulette
que la "mouche" M parcourt incessamment dans les
deux sens
Construction du lieu cherché :
Le cercle roulant (c) de centre J, de rayon r, touche intérieurement (C), de centre O, de rayon R = 2r, en T (point de tangence). Les hypothèses permettent d'affirmer que le cercle (c) contient O et que [OT] en est un diamètre.
Initialement, T et M sont en un point A de (C). Dire que (c) roule sans glisser à l'intérieur de (C) signifie que les arcs AT et MT sont de même mesure. Vu que R = 2r, on aura cette égalité si l'angle au centre ^AOT de (C) est égal à l'angle à la moitié de l'angle au centre ^MJT de (c).
Traçons la parallèle à (OA) passant par J et notons M le point d'intersection de (OA) avec (c). On a : ^MOJ = ^OMJ = ^TOx (angles correspondants) et ^OMJ = ^MJx (angles alternes-internes). Par conséquent ^MJT = 2 × ^AOT : M est le point décrivant le lieu cherché.
Génération :
La "mouche" est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
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Java
(»
extension CheerpJ
) :
Déplacer T; pour effacer / relancer ou
arrêter le
lieu
double-cliquer / cliquer
dans la figure