ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Mouche de La Hire       

Il s'agit d'une hypocycloïde dégénérée : elle s'obtient comme lieu géométrique d'un point M d'un cercle (c) de rayon r roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle (roulette) de rayon double R = 2r. Au début du roulement, on suppose M en un point A :

L'ensemble des points est le diamètre [AB] de la roulette
que la "mouche" M parcourt incessamment dans les deux sens

Construction du lieu cherché :    

Le cercle roulant (c) de centre J, de rayon r, touche intérieurement (C), de centre O, de rayon R = 2r, en T (point de tangence). Les hypothèses permettent d'affirmer que le cercle (c) contient O et que [OT] en est un diamètre.

Initialement, T et M sont en un point A de (C). Dire que (c) roule sans glisser à l'intérieur de (C) signifie que les arcs AT et MT sont de même mesure. Vu que R = 2r, on aura cette égalité si l'angle au centre ^AOT de (C) est égal à l'angle à la moitié de l'angle au centre ^MJT de (c).

Traçons la parallèle à (OA) passant par J  et notons M le point d'intersection de (OA) avec (c). On a : ^MOJ  = ^OMJ = ^TOx  (angles correspondants) et  ^OMJ = ^MJx (angles alternes-internes). Par conséquent ^MJT = 2^AOT : M est le point décrivant le lieu cherché.

Génération :    

La "mouche" est générée ci-dessous au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


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Déplacer T; pour effacer / relancer ou arrêter le lieu double-cliquer / cliquer dans la figure
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java


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