ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Points, cercle, droite, angle de Brocard

C'est en 1881 que Brocard publiait son Etude d'un nouveau cercle du plan du triangle :

• Tracer un triangle ABC;

• Tracer le cercle passant par A et B et tangent à (BC)
  Comment faire ? Le cercle passant par A et B est centré en un point O situé sur la médiatrice de [AB] et puisqu'il est de plus tangent à (BC), ce ne peut être qu'en B. Par suite (OB) est perpendiculaire à (BC). Le centre O cherché est donc l'intersection de la médiatrice et de la perpendiculaire considérées.

• Tracer maintenant le cercle passant par B et C et tangent à (CA)
• Tracer enfin le cercle passant par C et A et tangent à (AB)

Ces trois cercles sont sécants en un point β dit premier point de Brocard du triangle (vous pouvez déplacer A, B ou C) :

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Vous pouvez déformer le triangle ABC en déplaçant les points A, B et C

 ➔   Le cercle passant par A et B peut être tangent à (AC) plutôt qu'à (BC) :

• tracer le cercle passant par A et B et tangent à (AC);
• tracer le cercle passant par B et C et tangent à (BA);
• tracer le cercle passant par C et A et tangent à (CB).

Les trois cercles (en rouge) sont sécants en un point β', second point de Brocard du triangle :

 

Cercle et droite de Brocard :

Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle. [OL] est un diamètre de ce cercle et les points de Brocard sont symétriques par rapport à (OL), dite droite de Brocard.

Si la figure ci-dessous ne vous paraît pas claire, voyez celle qui suit où les auxiliaires de construction ont été gommés...  

 ➔  Étant données 4 demi-droites Ax, Ay, Az, At placées dans cet ordre, Ay et Az sont dites isogonales par rapport à Ax et At lorsque ^xAt et ^yAz ont la même bissectrice intérieure. Tel sera le cas si ^xAy = ^zAt. Voir par exemple l'angle des tangentes à une ellipse.

Les segments joignant les β et β' aux sommets du triangle constituent des isogonales particulières du triangle ABC. Leur remarquable propriété est de définir toujours le même angle ω, dit angle de Brocard du triangle.