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C'est en 1881 que Brocard publiait son Etude d'un nouveau cercle du plan du triangle :
Tracer le cercle passant par A et
B et tangent à (BC)
Comment faire ?
Le cercle passant par A et B est centré en
un point O situé sur la médiatrice de [AB] et puisqu'il est de plus tangent à (BC), ce
ne peut être qu'en B.
Par suite (OB) est perpendiculaire à (BC). Le centre O
cherché est donc l'intersection de la médiatrice et de la perpendiculaire
considérées.
Ces trois cercles sont sécants en un point β dit premier point de Brocard du triangle (vous pouvez déplacer A, B ou C) :
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Vous pouvez déformer le triangle ABC en
déplaçant les points A, B et C
➔ Le cercle passant par A et B peut être tangent à (AC) plutôt qu'à (BC) :
Les trois cercles (en rouge) sont sécants en un point β', second point de Brocard du triangle :
Cercle et droite de Brocard : |
Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle. [OL] est un diamètre de ce cercle et les points de Brocard sont symétriques par rapport à (OL), dite droite de Brocard.
Si
la figure ci-dessous ne vous paraît pas claire, voyez celle qui suit
où les auxiliaires de construction
ont été gommés...
Angle de Brocard du triangle : |
➔ Étant données 4 demi-droites Ax, Ay, Az, At placées dans cet ordre, Ay et Az sont dites isogonales par rapport à Ax et At lorsque ^xAt et ^yAz ont la même bissectrice intérieure. Tel sera le cas si ^xAy = ^zAt. Voir par exemple l'angle des tangentes à une ellipse.
Les segments joignant les β et β' aux sommets du triangle constituent des isogonales particulières du triangle ABC. Leur remarquable propriété est de définir toujours le même angle
ω, dit angle de Brocard du triangle.L'angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente (cotan) par la formule :