ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Points, cercle, droite, angle de Brocard      

C'est en 1881 que Brocard publiait son Etude d'un nouveau cercle du plan du triangle :

Ces trois cercles sont sécants en un point β dit premier point de Brocard du triangle (vous pouvez déplacer A, B ou C) :

 Le cercle passant par A et B peut être tangent à (AC) plutôt qu'à (BC) :

Les trois cercles (en rouge) sont sécants en un point β', second point de Brocard du triangle :

 

 Cercle et droite de Brocard :

Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle. [OL] est un diamètre de ce cercle et les points de Brocard sont symétriques par rapport à (OL), dite droite de Brocard.

Si la figure ci-dessous ne vous paraît pas claire, voyez celle qui suit où les auxiliaires de construction ont été gommés...  

 


Cercle de Brocard de diamètre [OL]

Angle de Brocard du triangle :

Rappelons ici qu'étant données 4 demi-droites Ax, Ay, Az, At placées dans cet ordre, Ay et Az sont dites isogonales par rapport à Ax et At lorsque ^xAt et ^yAz ont la même bissectrice intérieure. Tel sera le cas si ^xAy = ^zAt.  Voir exemple, pour l'angle des tangentes à une ellipse.

Les segments joignant les β et β' aux sommets du triangle constituent des isogonales particulières du triangle ABC. Leur remarquable propriété est de définir toujours le même angle ω, dit angle de Brocard du triangle.

ω = ^βAB = ^βBC = ^βCA = ^β'AC = ^β'BA = ^β'CB

L'angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente (cotan) par la formule :

cotan ω = cotan ^A + cotan ^B + cotan ^C


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