ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Point de Miquel  #1             #2 (cas plus général et cercle de Miquel)

Ces trois cercles sont sécants en un point M. C'est un point de Miquel du triangle.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Considérons les cercles (AC'B') et (BC'A') se coupant en M. Les quadrilatères AC'MB' et BA'MC' étant inscriptibles, on a :

^A'MC' = 180° - ^B  et   ^B'MC' = 180° - ^A

Par suite :

^A'MB' = 360° - (180° - ^B) - (180° - ^A) = ^A + ^B = 180° - ^C

Par conséquent, les quatre points A', M, B' et C sont cocycliques : c'est dire que le cercle (CA'B') passe par M.

on peut raisonner au moyen des angles orientés de droites (ou de vecteurs) pour une preuve moins élémentaire mais le point M se situant en l'intérieur du triangle ABC, on peut éviter de faire compliqué.

 Etude : que se passe-t-il si B', par exemple, est choisi en A (ou en C) ?

Cas plus général, A' sur [BC) non situé dans [BC] :


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