ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rangement aléatoire de boules      Bac C (ex S), Lille, juin 1987

On place, au hasard, n boules numérotées dans n casiers, chaque casier pouvant contenir jusqu'à n boules. On note p_n la probabilité que chaque casier contienne une boule et une seule.

1°/ Prouver que p_n = n!/nⁿ.

2°/ Prouver par récurrence l'inégalité (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

3°/ Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a p_n/p_n+1 ≥ 2  (on se servira de la question précédente).
    

1°/ Ranger les n boules dans les casiers revient à définir une application de {1,2,...,n} dans l'ensemble {c₁, c₂, ..., c_n} des n casiers. Il y a donc nⁿ rangements possibles.   » nombre d'applications de E vers F

Tout permutation des boules dans les n casiers est une possibilité de rangement (cas "favorables"). Or il y a n! permutations possibles de n objets. La situation envisagée est un cas d'équiprobabilité des rangements possibles. La probabilité cherchée est donc n!/nⁿ.

2°/ La formule énoncée est manifestement vraie pour n = 1. Supposons-la vraie pour n ≥ 1 :

(1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ(1 + x)  ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + x² = (n + 1)x + 1 + x²

x² étant positif, on a donc (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n + 1)x. La relation de récurrence est établie.

La formule étant vraie pour n = 1, elle est vraie pour tout n ≥ 1.

 ➔  Cette l'inégalité aurait pu se prouver directement en utilisant la formule du binôme de Newton.

On applique la minoration établie en 2° :

C'est bien dire que pour tout n au moins égal à 1 :

On déduit de cette inégalité :

p_n+1/p_n ≤ 1/2 pour tout n ≥ 1. On peut alors écrire successivement :

p_n+1 ≤ ½p_n
p_n ≤ ½p_n-1
p_n-1p_n ≤ ½p_n-2
...
p₂ ≤ ½p₁

Faisons le produit membre à membre de ces inégalités (loisible, car tous les termes sont positifs). En simplifiant à gauche et à droite par p₂p₂...p₂, il vient :

p_n+1 ≤ (½)ⁿp₁

Or p₁ = 1. On peut donc écrire, pour tout n ≥ 1 : 0 < p_n ≤ (½)^n-1. Or est le terme général d'une suite géométrique de raison ½ < 1. Sa limite est nulle. On a donc lim  p_n = 0.