ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rectangle d'aire maximale pour un périmètre donné    niveau  2nde/1ère
   
 Variante niveau 3ème/2ndeLa reine Didon et les isopérimètres (niveau Sup)

De tous les rectangles qui ont le même périmètre quels sont ceux qui ont la plus grande aire ?

Indications :   

Il s'agit de chercher la valeur de k qui maximise l'aire (x) du rectangle.

  Exprimer p en fonction de x et k et prouver que (x) = px/2 - x2 en éliminant k;

  Justifier que passe par un maximum lorsque x = p/4;
 
- En classe de 1ère, on pourra calculer '
(x) qui est un binôme du 1er degré en x dont le signe est facile à déterminer.
- En classe de seconde, vérifier que
(x) = -(x - p/4)2 + p/16  (forme canonique).

  En déduire la valeur de k; que dire alors de la longueur du rectangle ?

Conclusion :   

L'aire   sera maximale si le rectangle est un carré (de côté p/4).


© Serge Mehl - www.chronomath.com