ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rectangle d'aire maximale pour un périmètre donné   niveau 3ème/2nde
   
 Variante niveau 1èreLa reine Didon et les isopérimètres (niveau Sup)

De tous les rectangles qui ont le même périmètre quels sont ceux qui ont la plus grande aire ?

Indications :            

Si vous séchez après avoir bien cherché :
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Indications pour la solution :

Notons la largeur du rectangle, L = + k sa longueur (k 0) et soit p le périmètre donné. On a :

p = 4 + 2k

L'aire qu'il s'agit de maximiser est

= ( + k)

Exprimons en fonction de p et k :

= (p - 2k)/4

On reporte dans  :

Mais (p - 2k)(p + 2k) = p2 - 4k2. D'où :

Par conséquent, l'aire sera maximale si le terme en soustraction est nul, donc si k = 0. C'est dire que L = :

De tous les rectangles qui ont le même périmètre, celui qui a la plus grande aire est est le carré


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