ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Cinq petits exos de gymnastique bilinéaire        niveau Sup

  Les cinq exercices sont indépendants. On se référera tout d'abord aux définitions en cliquant sur la clé. Une fois n'est pas coutume, les solutions ne sont pas données. Mais si vous séchez ou si vous constatez une erreur d'énoncé, vous pouvez me contacter.

1.   Montrer que :

2.    On considère une application bilinéaire f de E x F vers G. Montrer que f(x,y) = 0G dès que l'un au moins des vecteurs x et y est nul (x = 0E ou x = 0F).


3.   Montrer que l'application nulle θde EF vers G, qui à tout (x,y) associe 0G, est à la fois linéaire et bilinéaire de E x F vers G (voir encadré vert ci-dessus).

4.   E désigne un espace vectoriel de dimension 3 sur R. B = (i,j,k) est une base de E et f  l'application de E x E vers E définie par :

Montrer que :

  • a/  f est bilinéaire, non symétrique.

  • b/  Si V(x,y,z) et W(x',y',z') relativement à B, alors :

f(V,W) = (xx' + yx' + zx').i + (xy' + yy' + zy').j + (xz' + yz' + zz').k


5.   On considère une forme bilinéaire et symétrique f sur un plan vectoriel réel P (espace vectoriel de dimension 2 sur R) rapporté à la base (i,j).

  • i/ Montrer que v = x.i + y.j et w = x'.i + y'.j , alors :

f(v,w) =xx'.f(i,i) + (xy' + x'y).f(j,i) + yy'.f(j,j)

  • ii/ On dit qu'un vecteur u est unitaire relativement à f, si f(u,u) = 1 et que deux vecteurs v et w de P sont orthogonaux pour exprimer que f(v,w) = 0.

En supposant alors que la base (i,j) est unitaire : f(i,i) = 1 et f(j,j) = 1 et orthogonale : f(i,j) = f(j,i) = 0, montrer que v = a.i + b.j et w sont orthogonaux si et seulement si w = kb.i - ka.j où k est un réel quelconque.


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