ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de ln 2 au moyen de la série harmonique alternée  version tableur
      
La version JavaScript et une accélération de convergence vous seront exposées en cliquant sur la clé.

Dans son Logarithmotechnia, Mercator calcule l'aire sous l'hyperbole x 1/x, en exhibant le développement :

x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + x5/5 - ...  (série de Mercator)

correspondant au développement en série de la fonction x ln(1 + x) pour | x | 1.

Lorsque x = 1, la série est alors appelée série harmonique alternée, sa somme est ln 2 :

Selon un résultat de Leibniz, cette série étant alternée, l'erreur faite en limitant la somme au rang n est inférieure au terme de rang n + 1, donc inférieure à 1/n : la convergence sera donc certainement très lente.

Programme sur tableur :
=SI(MOD(n;2)=1 ; 1/n ; -1/n)
 la fonction MOD(a,b) retourne le reste de la division de a par b.

 
Résultat d'exécution. Rappel : ln 2 = 0,6931471805599... :


 
et vers n = 1000, on approche de la valeur approchée à 1/1000 près... :
 
 


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