ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Calcul de ln 2 au moyen de la série harmonique alternée  version tableur
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La version JavaScript et une accélération de convergence vous seront exposées en cliquant sur la clé.

Dans son Logarithmotechnia, Mercator calcule l'aire sous l'hyperbole x → 1/x, en exhibant le développement :

x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + x5/5 - ...  (série de Mercator)

correspondant au développement en série de la fonction x → ln(1 + x) pour | x | ≤ 1.

Lorsque x = 1, la série est alors appelée série harmonique alternée, sa somme est ln 2 :

Selon un résultat de Leibniz, cette série étant alternée, l'erreur faite en limitant la somme au rang n est inférieure au terme de rang n + 1, donc inférieure à 1/n : la convergence sera donc certainement très lente.

Programme sur tableur :
=SI(MOD(n;2)=1 ; 1/n ; -1/n)
   la fonction MOD(a,b) retourne le reste de la division de a par b.

 
Résultat d'exécution. Rappel : ln 2 = 0,6931471805599... :


 
et vers n = 1000, on approche de la valeur approchée à 1/1000 près... :
 
 


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