Volume d'une pyramide régulière

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Volume d'une pyramide régulière niveau 4ème » Démocrite
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Le schéma ci-dessous représente une pyramide régulière de sommet S, à base carrée, dont les faces sont des triangles équilatéraux.

On demande de calculer son volume en cm³ sachant que le côté du carré mesure 24 cm.

➔ Il s'agira de calculer tout d'abord la hauteur de la pyramide ou bien de remarquer la présence d'angles droits au sommet...

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Solution :

Rappel préliminaire :

On s'en convaincra facilement en utilisant le théorème de Pythagore ou, plus simplement, la trigonométrie. Avec les notations de la figure :

Par Pythagore : SH² = SA² - AH² = AB² - (AB/2)² =AB² -AB²/4 = 3AB²/2. Soit, en passant à la racine carrée : SH = AB√3/2.
Par la trigo : c'est beaucoup plus simple : SH = SA × sin60° = SA√3/2 = AB√3/2.

Revenons à notre petit problème :

La pyramide étant régulière, le centre O de sa base carrée est l'intersection de ses diagonales et OS est la hauteur de la pyramide. L'unité de longueur étant le cm, notons H le milieu de [AB] :

Nous avons :

OH = 24 ÷ 2 = 12;
SAB étant équilatéral, le triangle SH en est une hauteur et par conséquent :

SH = AB √3/2 = 12√3

On peut maintenant appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle SOH rectangle en O :

OS² = SH² - OH² = 12² × 3 - 12² = 12²× 2

Donc OS = 12√2 et le volume de la pyramide est Aire_base× hauteur/3, soit, en cm³ :

V = 2304√2

et, en cm³, arrondi à l'unité :

V = 3258 cm³

➔ On pouvait aussi, plus élégamment, remarquer que les faces étant équilatérales, on a SD = SB = AB. Dans le carré ABCD, [BD] est une diagonale, donc BD = AB√2. D'où BD² = 2AB² = SD² + SB² : le triangle BSD est rectangle et isocèle en S, ce qui conduit à OS =12√2.