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Volume d'une pyramide régulière     niveau 4ème                
      
Autres pyramides...            Démocrite

Le schéma ci-dessous représente une pyramide régulière de sommet S, à base carrée, dont les faces sont des triangles équilatéraux.

On demande de calculer son volume en cm3 sachant que le côté du carré mesure 24 cm.

  Il s'agira de calculer tout d'abord la hauteur de la pyramide ou bien de remarquer la présence d'angles droits au sommet...

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Rappel préliminaire :


On s'en convaincra facilement en utilisant le théorème de Pythagore ou, plus simplement, la trigonométrie.
Avec les notations de la figure :

Par Pythagore : SH2 = SA2 - AH2 = AB2 - (AB/2)2 =AB2 -AB2/4 = 3AB2/2. Soit, en passant à la racine carrée : SH = AB3/2.

Par la trigo : c'est beaucoup plus simple : SH = SA x sin60° = SA3/2 = AB3/2.

Revenons à notre petit problème :

La pyramide étant régulière, le centre O de sa base carrée est l'intersection de ses diagonales et OS est la hauteur de la pyramide. L'unité de longueur étant le cm, notons H le milieu de [AB] :

Nous avons :

SH = AB 3/2 = 123

On peut maintenant appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle SOH rectangle en O :

OS2 = SH2 - OH2 = 122 x 3 - 122 = 122 x 2

Donc OS = 122 et le volume de la pyramide est Airebase x hauteur /3, soit, en cm3 :

 V = 23042

et, en cm3, arrondi à l'unité :

V = 3258 cm3

On pouvait aussi, plus élégamment, remarquer que les faces étant équilatérales, on a SD = SB = AB. Dans le carré ABCD, [BD] est une diagonale, donc BD = AB2. D'où BD2 = 2AB2 = SD2 + SB2 : le triangle BSD est rectangle et isocèle en S, ce qui conduit à OS =122.


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