ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Probabilités élémentaires  #2     tirages et dénombrement          niveau 3ème/2nde      » proba #1

Un sac opaque contient 9 jetons numérotées de 1 à 9 supposés indiscernables au toucher : c'est dire que chaque jeton tiré du sac à la même probabilité d'apparaître.

En procédant à trois tirages successifs d'un jeton sans remettre un jeton précédemment tiré, on s'intéresse à la formation de nombres de 3 chiffres : le chiffre des centaines étant le 1er jeton tiré, le chiffre des dizaines est le second, le chiffre des unités est le dernier. Par exemple, si on sort le 8 puis le 1 puis le 4, on formera 814.

1°  Compléter les phrases suivantes (aucune justification n'est demandée) :

Au 1er tirage, il y a ... possibilités pour le chiffre des .................
A chacun de ces ... cas je peux associer ... possibilités pour le choix des dizaines car on ne .......... pas le 1er jeton dans le ...
Ceci me donne déjà ... x ... = ..... possibilités de formation des deux premiers chiffres.
Au 3ème tirage, il me reste ... jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des ... cas déjà dénombrés, je peux associer ... tirages possibles. J'ai donc en tout ... x ... = 504 possibilités de former un nombre de ... chiffres.

 ➔  Le lecteur "averti" reconnaîtra là un calcul relevant de l'arbre de choix (également appelé arbre des possibilités ou des possibles). Il s'agit ici, au sens de l'analyse combinatoire du nombre d'arrangements de 3 objets distincts parmi 9.

Dans toute la suite, on donnera les probabilités sous forme de fractions irréductibles.

2°  Les deux premiers tirages ont donné deux chiffres impairs. Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair au 3è tirage ?

3°  Karim a procédé à un tirage des trois jetons et s'étonne d'avoir tiré 1 2 3 dans cet ordre. Quelle est donc la probabilité de tirer successivement trois chiffres consécutifs en croissant ou décroissant.

4° A quelle condition un nombre est-il divisible par 5 ? Quelle est la probabilité de former un nombre divisible par 5 ?

5°  A quelle condition un nombre est-il divisible par 9 ? Quelle est la probabilité de former un nombre divisible par 18 ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :  ››››  

1°  Au 1er tirage, il y a 9 possibilités pour le chiffre des centaines.
A chacun de ces 9 cas je peux associer 8 possibilités pour le choix des dizaines car on ne remet pas le 1er jeton dans le sac.
Ceci me donne déjà 9 x 8 = 72 possibilités de formation des deux premiers chiffres.
Au 3ème tirage, il me reste 7 jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des 72 cas déjà dénombrés, je peux associer 7 tirages possibles. J'ai donc en tout 72 x 7 = 504 possibilités de former un nombre de 3 chiffres.

2°  Au 3è tirage, il reste 7 jetons dans le sac où 2 chiffres impairs ont été tirés. Il reste donc en particulier tous les chiffres pairs, à savoir : 2 4 6 8. Les jetons sont indiscernables au toucher. La probabilité cherchée est donc :

p = nb. cas favorables / nb. cas possibles = 4/7

3°  Dénombrons les cas (favorables) où l'on obtient des chiffres consécutifs : il peuvent commencer par 1, ou 2, ou 2, ou..., ou 7 en croissant : de 1 2 3 à 7 8 9 : 7 cas ou bien en sens inverse : 7 autres cas de 9 8 7 à 3 2 1 . La probabilité cherchée est donc :

p = nb. cas favorables / nb. cas possibles = 14/504 = 2 x 7/504 = 1/36     (puisque 504 = 9 x 8 x 7 = 36 x 14)

4°  Un nombre est-il divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Il n'y a pas de zéro dans le sac. Par conséquent le dernier chiffre tiré doit être le 5 : le même raisonnement qu'en 1° conduit à dire qu'il y a 8 x 7 = 56 façons de tirer les deux premiers jetons (8 x 7 et non 9 x 8 car il ne faut pas tirer le 5 !). On peut donc former 56 nombres se terminant par 5. La probabilité cherchée est donc :

p = nb. cas favorables / nb. cas possibles = 56/504 = 8 x 7/504 = 1/9     (puisque 504 = 9 x 8 x 7)

5°  Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ainsi le nombre tiré sera divisible par 18 s'il est pair et si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Le nombre doit donc se terminer par 2 4 6 ou 8.

♦ Si la somme des chiffres est 9 :

• Le nombre se termine 2 : la somme des deux autres chiffres devra être 7, ce qui fournit 1 6 et 6 1 ou bien 3 4 et 4 3
• Le nombre se termine 4 : la somme des deux autres chiffres devra être 5, ce qui fournit 2 3 et 3 2
• Le nombre se termine 6 : la somme des deux autres chiffres devra être 3, ce qui fournit 1 2 et 2 1
• Le nombre se termine 8 : pas possible.

En tout 8 cas.

♦ Si la somme des chiffres est 18 :

• Le nombre se termine 2 : la somme des deux autres chiffres devra être 16, ce qui fournit 7 9 et 9 7
• Le nombre se termine 4 : la somme des deux autres chiffres devra être 14, ce qui fournit 5 9 et 9 5 ou bien 6 8 et 8 6
• Le nombre se termine 6 : la somme des deux autres chiffres devra être 12, ce qui fournit 3 9 et 9 3 ou bien 4 8 et 8 4 ou bien encore 5 7 et 7 5
                                      
• Le nombre se termine 8 : la somme des deux autres chiffres devra être 10, ce qui fournit 1 9 et 9 1 ou bien 3 7 et 7 3ou bien encore 4 6 et 6 4

En tout 18 cas.

Au total, 26 nombres sur 504 pourront s'avérer être divisibles par 18. La probabilité cherchée est donc :

p = nb. cas favorables / nb. cas possibles = 26/504 = 13/252