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Un petit calcul où l'on retrouve à peu près π...   niveau 4è/3è        Outils : Th. de Pythagore , trigo élémentaire      » Calculs de π dans ChronoMath | 10 000 premières décimales de π

 !  La valeur approchée de π qui apparaît dans cet exercice est due Adam Kochanski (1631-1700), un jésuite polonais inventeur éclectique, astronome et mathématicien amateur qui s'intéressa en particulier à la quadrature du cercle. Son résultat, publié en 1685 à Leipzig dans les Acta Eruditorum (» Leibniz), exprime une valeur approchée du nombre π.

I) Reproduis la figure ci-dessus dont voici le programme de construction (on prendra 3 cm comme unité de longueur) :

1. Tracer un cercle (c) de centre A de rayon 1 (donc 3cm);
2. Tracer les tangentes (t) et (t') respectivement en B et D diamétralement opposés sur (c);
3.  i  On sait, ou il est rappelé, que la tangente en un point M d'un cercle de centre A est perpendiculaire au rayon [OM].
4. La parallèle à (t) passant par A coupe le cercle (c) au point C "à droite" de A;
5. Le cercle de centre C passant par A coupe (c) en E dans le quadrant (CAB);
6. [AE) coupe (t) en I;
7. On note L le point de (t'), "à droite" de D tel que DL = 3 (donc 9 cm).

II) Calculer la mesure exacte de IL.
     Indication : on tracera la parallèle à (BD passant par I coupant [DL] en F.

III) Comparer la mesure de IL au nombre π sachant qu'une valeur approchée de ce nombre est 3,141592654

Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››

I) Calculons tout d'abord DF = BI. Par construction, le cercle (c') de centre C définit le triangle équilatéral CAE. Par suite ^EAB mesure 30°. Les tangentes (t) et (t') sont perpendiculaires au diamètre [BD].

Dans le triangle ABI, nous avons BI = AB × tan30° = 1 × √3/3 = 1/√3. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle FIL :

IL² = IF² + FL²

IF = BD = 2 car IBDF est un rectangle et FL = DL - DF = 3 - BI = 3 - 1/√3. Par suite :

On en déduit :

L'approximation est relativement bonne car π - 3.14153 ≈ 0,00006.

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