ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Illusion d'optique & trompeuse intuition     •••     niveau 5è    » Autres illusions (3D)...

En classe de 5ème, on apprend à démontrer. On raisonne avec son cerveau et non pas comme un tambour (lequel résonne...). Voici un exercice où l'intuition est mise à mal en se fiant à une figure. L'objectif étant de bien comprendre que la seule observation d'un dessin ne peut servir de preuve. Une figure peut aider mais aussi tromper...

1°/

à ton avis, à vue d'œil, franchement, sans mesurer, sans raisonner, les segments [AK] et [BK] te semblent de même mesure plutôt sur cette première figure :

= figure1 =

ou plutôt sur celle-là ? :

= figure2 =
 

2°/

Où donc, et comment, placer le point K sur le segment [DC] afin que AK = BK ?

La solution est sous tes yeux mais il faut la compléter :

Lorsque AK = BK, le triangle AKB est .............. de sommet ................ K;

Le point K est alors situé sur la ................. de [......];

C'est une ............ qui passe par le milieu de ce ................ et qui lui est .......................;

Je trace donc la ................ de [......];

Elle coupe [......] en le .......... cherché ..... et bien que cela n'a pas l'air d'être le cas (:-), j'ai ...... = ...... car tout .......... situé sur la ................ d'un .............. est à .......... distance de ses ..................

 J'étais donc été trompé par une .............. d'optique. Vive le r.........................t mathématique
sans lequel je serais resté dans l'e..........r !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

2°/

Lorsque AK = BK, le triangle AKB est isocèle de sommet principal K;

Le point K est alors situé sur la médiatrice de [AB];

C'est une droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire;

 Tu peux modifier la position de K en déplaçant le gros point rouge P vers la droite ou la gauche

Je trace donc la médiatrice de [AB];

Elle coupe [CD] en le point cherché K et bien que cela n'a pas l'air d'être le cas, j'ai KA = KB car tout point situé sur la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses extrémités.

 La réponse au 1°/ était donc la figure 1. J'étais donc trompé par une illusion d'optique.
Vive le raisonnement mathématique sans lequel je serais resté dans l'erreur !

Le parallélogramme ABCD étant très allongé, lorsque K est en bonne position sur la médiatrice de [AB], le parallélogramme JBCK parait également allongé comparativement à AJKD. Par suite, le cerveau, par l'intermédiaire de vos yeux, estime BK > AK.

Une autre illusion d'optique bien connue est celle ci :    

On trace deux belles droites bien parallèles :

 puis plein de droites concourantes comme ci-dessous :

 ➔  Vos yeux fixent inconsciemment le centre de la figure d'où fuient toutes les droites. Le cerveau accompagne ce mouvement vers l'extérieur de la bande des deux parallèles et vous fait croire que les droites se tordent également vers l'extérieur... Fixez maintenant votre regard à l'extérieur de la bande délimitée par les droites rouges, à 1cm au moins d'une de ces droites. Vous constaterez la disparition de la courbure.