ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Graphe et matrice de transition
(extrait bac ES 2006) |
Dans une région, on considère 3 types de temps :
Beau (événement B), Variable (V) et Pluvieux (P).
Lorsque le temps est beau, on estime à 1/3 la probabilité qu'il fasse encore beau le lendemain et à 1/6 qu'il pleuve.
Si le temps est variable, on estime à 1/4 la probabilité qu'il le reste le lendemain et à 1/2 qu'il pleuve.
Enfin, s'il pleut, on estime à 1/4 la probabilité qu'il pleuve encore le lendemain et à 1/2 qu'il fasse beau.
1°/
Représenter cette situation météorologique par un graphe probabiliste et
établir sa matrice de transition.
2°/ Aujourd'hui, il fait beau. Quelle sont les
probabilités, dans 2 jours, des 3 types de temps ?
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Graphe de la situation :
Les probabilités sortantes, données par l'énoncé, sont inscrites en bleu. Les probabilités calculées sont inscrites en noir. Par exemple, en B, trois éventualités sont possibles : B, P ou V et la somme de ces probabilités doit égaler 1; par suite, la probabilité manquante, à savoir V sachant B (arête B→V) est 1 - 1/3 - 1/6 = 1/2.
Matrice de transition :
L'ordre B(1), V(2), P(3) étant imposé, on inscrit en ligne i, colonne j, la probabilité pi,j de passer de l'état i à l'état j. Par exemple p2,3 = 1/2 (passer de V à P). D'où :
Le temps dans 2 jours :
L'état initial est B. La probabilité est donc 1 (événement certain), V et P ont une probabilité nulle (événements impossibles), donc Po = (Bo,Vo,Po) = (1,0,0).
Le temps à 2 jours est donné par P2 = (B2,V2,P2) = Po × M2.
Il fera donc beau, variable et pluvieux avec des probabilités respectives de 23/72, 1/3 et 25/72.
➔ Vu que l'on multiplie à gauche la matrice ligne (1 0 0) par une matrice carrée 3 x 3, le résultat est la première ligne de cette matrice. On obtiendrait la seconde ligne /resp. la troisième/ si l'état initial est (0 1 0) /resp. (0 0 1)/.