ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Graphe et matrice de transition  (extrait bac ES 2006)

Dans une région, on considère 3 types de temps :

Beau (événement B), Variable (V) et Pluvieux (P).

1°/ Représenter cette situation  météorologique par un graphe probabiliste et établir sa matrice de transition.

2°/ Aujourd'hui, il fait beau. Quelle sont les probabilités, dans 2 jours, des 3 types de temps ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Graphe de la situation :

Les probabilités sortantes, données par l'énoncé, sont inscrites en bleu. Les probabilités calculées sont inscrites en noir. Par exemple, en B, trois éventualités sont possibles : B, P ou V et la somme de ces probabilités doit égaler 1; par suite, la probabilité manquante, à savoir V sachant B (arête BV) est 1 - 1/3 - 1/6 = 1/2.

Matrice de transition :

L'ordre B(1), V(2), P(3) étant imposé, on inscrit en ligne i, colonne j, la probabilité pi,j de passer de l'état i à l'état j. Par exemple p2,3 = 1/2 (passer de V à P). D'où :

Le temps dans 2 jours :

L'état initial est B. La probabilité est donc 1 (événement certain), V et P ont une probabilité nulle (événements impossibles), donc Po = (Bo,Vo,Po) = (1,0,0).

Le temps à 2 jours est donné par P2 = (B2,V2,P2) = PoM2.

Il fera donc beau, variable et pluvieux avec des probabilités respectives de 23/72, 1/3 et 25/72.

Vu que l'on multiplie à gauche la matrice ligne (1  0  0) par une matrice carrée 3 x 3, le résultat sera la première ligne de cette matrice. On obtiendrait la seconde ligne /resp. la troisième/ si l'état initial est (0  1  0) /resp. (0 0 1)/.


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