ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonction de répartition (cas continu), densité         niveau Sup
     espérance mathématique, variance
    

Soit X la variable aléatoire continue dont la fonction de répartition est définie par :

 

où  λ désigne un nombre réel convenable.

1°/  a - Quelle est la densité de X ? Que doit être la valeur de λ ?
      b - Représenter en justifiant brièvement les courbes représentatives de F et f.

2°/ Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

3°/ X admet-elle une variance V(X) ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°/  a- La densité f de X est la fonction dérivée de sa fonction de répartition F. Par conséquent :

La condition sur λ est :

Donc λ = 1.

b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X :

F(x) = 1 - 1/x2 sur [1,+∞[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.

Représentation graphique de la densité f de X :

f(x) = 2/x3 sur [1,+∞[. C'est une fonction strictement décroissante, égale à 2 en x = 1 et admettant (Ox comme asymptote horizontale à l'infini.

2°/  L'espérance mathématique de X est donnée par :

3°/  La variance de X est donnée par :

Mais cette intégrale diverge car la limite de ln à l'infini est infinie. X n'admet pas de variance.

Interprétation :    

Selon le calcul précédent, l'écart-type de X, racine carrée de sa variance et mesurant la dispersion moyenne des valeurs de X autour de sa moyenne, est donc infini. Cela s'explique par le "déséquilibre" de la distribution de probabilités comme le montre la courbe représentative de F : la moyenne des valeurs de X est E(X) = 2.

On a Prob(X < 2) = F(2) =  1 - 1/4 = 0,75. Donc Prob(X > 2) = 0,25 : probabilité non négligeable. Noter que si la densité "s'étalait" sur R tout entier, le terme à intégrer dans V(X), à savoir 1/x, fonction impaire, assurerait une variance nulle.


© Serge Mehl - www.chronomath.com