ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangle et aire #2      niveau 4ème/3ème            #1 (niveau 5ème/4ème)

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

On considère un rectangle ABCD. Les points E, F et G peuvant se déplacer sur les côtés [AB], [BC] et [AD], ce qui change alors l'aire du triangle EFG.


Si ton navigateur accepte les applets Java :
Tu  peux déplacer les points E, F et G.
Pour la question 1, ne modifie pas le rectangle.
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Question 1:   

Où situer E, F et G afin que l'aire du triangle EFG soit maximale ?

 Indication  

On tracera la parallèle à (AD) passant par E.

Question 2 (prolongement) :  

En déplaçant A, B ou D : on obtient le cas plus général où ABCD est un parallélogramme. Vérifier que la réponse donnée dans le cas du rectangle reste valable.

Si tu sèches après avoir bien cherché : 
© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Traçons la parallèle à (AD) passant par E; elle coupe [FG] en L.

Soit H le pied de la hauteur issue de G dans le triangle EGL et K le pied de la hauteur issue de F dans le triangle EFL.

L'aire du triangle EFG est :

EL x GH/2 + EL x FK/2 = EL x CD/2

L'aire est donc maximale lorsque EL est maximale, donc lorsque L est sur [DC].

Mais cela ne se peut que si G est en D et F en C, le point E étant quelconque sur [AB]. 

Prolongement :   

Si ABCD est un parallélogramme; le même raisonnement s'applique :

Cette fois, l'aire du triangle EFG est :

EL x (GH + KF)/2

Les droites (AD), (EL) et (BC) étant parallèles, (GH) est perpendiculaire à (AD) et (KF) est perpendiculaire à (BC).

GF + KF est donc la distance entre les côtés (AD) et (BC) du parallélogramme ABCD : c'est un nombre invariant lorsque E, F et G se déplacent (tout comme précédemment).

La conclusion est donc la même.


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