ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Divisibilité          exercice corrigé en application des congruences               niveau Sup

» Les deux exercices sont indépendants.

1°/ Montrer que pour tout entier naturel n,

X = 3^{n + 3} - 4^{4n + 2} est divisible par 11

2°/ Montrer que pour tous entiers naturels m et n :

N = mn(m⁶⁰ - n⁶⁰) est divisible par l'entier 56 786 730

 

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Solution proposée :    

1°/  On remarque 3 est congru à -8 modulo 11. 4 et 8 sont des puissances de 2. On peut donc écrire, modulo 11 :

X = (-2³)^{n + 3}  - (2²)^{4n + 2} = (-1)^{n + 1}2^{3n + 9} - 2^{8n + 4} = 2^{3n + 9} [(-1)^{n + 1} - 2^{5n - 5}]

Mais 2⁵ = 32 ≡ -1  [11]. Par conséquent, on a modulo 11 :

X = 2^{3n + 9} [(-1)^{n + 1} - 2^{5(n - 1)}] = 2^{3n + 9} [(-1)^{n + 1} - (-1)^{(n - 1)}] = 0

C.Q.F.D.

2°/  Décomposons tout d'abord le nombre 56 786 730 en facteurs premiers. On trouve aisément :

56 786 730 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 31 × 61

Le problème sera donc résolu si nous prouvons que N est divisible par chacun de ces facteurs. Rappelons le théorème de Fermat :

 Si p est premier, alors pour tout entier a : a^p ≡ a [p]

Divisibilité par 61 :

On peut écrire N = mn(m⁶⁰ - n⁶⁰) = n(m⁶¹ - m) - m(n⁶¹ - n) et on applique le théorème de Fermat.

Divisibilité par 31 :

On a 60 = 2 × 30. N = mn(m⁶⁰ - n⁶⁰) =  (m³⁰ + n³⁰) × mn(m³⁰ - n³⁰) et on décompose mn(m³⁰ - n³⁰) comme précédemment pour 60.

Divisibilité par 13 :

On a 60 = 5 × 12. Vu que, d'une façon générale, a^p - b^p est divisible par a - b, on a ici m⁶⁰ - n⁶⁰ multiple de m¹² - n¹² et on fera apparaître m¹³ - m et n¹³ - n à la manière précédente.

Divisibilité par 11, 7, 5, 3 :

Comme précédemment vu que 60 = 6 × 10 = 10 × 6 = 15 × 4 = 30 × 2.

Divisibilité par 2 :

N = mn(m⁶⁰ - n⁶⁰) est un multiple de m² - n² = (m + n)(m - n). Si m et n n'ont pas la même parité, n est divisible 2 puisque m ou bien n le sera. Si m et n ont même parité, m + n est divisible par 2.