ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Divisibilité          exercice corrigé en application des congruences               niveau Sup

Les deux exercices sont indépendants.

1°/ Montrer que pour tout entier naturel n,

X = 3n + 3 - 44n + 2 est divisible par 11

2°/ Montrer que pour tous entiers naturels m et n,

N = mn(m60 - n60) est divisible par le nombre 56 786 730

 


Solution proposée :    

1°/  On remarque 3 est congru à -8 modulo 11. 4 et 8 sont des puissances de 2. On peut donc écrire, modulo 11 :

X = (-23)n + 3  - (22)4n + 2 = (-1)n + 123n + 9 - 28n + 4 = 23n + 9 [(-1)n + 1 - 25n - 5]

Mais 25 = 32 -1  [11]. Par conséquent, on a modulo 11 :

X = 23n + 9 [(-1)n + 1 - 25(n - 1)] = 23n + 9 [(-1)n + 1 - (-1)(n - 1)] = 0

C.Q.F.D.

2°/  Décomposons tout d'abord le nombre 56 786 730 en facteurs premiers. On trouve aisément :

56 786 730 = 2 3 5 7 11 13 31 61

Le problème sera donc résolu si nous prouvons que N est divisible par chacun de ces facteurs. Rappelons le théorème de Fermat :

 Si p est premier, alors pour tout entier a : ap a [p]

Divisibilité par 61 :

On peut écrire N = mn(m60 - n60) = n(m61 - m) - m(n61 - n) et on applique le théorème de Fermat.

Divisibilité par 31 :

On a 60 = 2 30. N = mn(m60 - n60) =  (m30 + n30) mn(m30 - n30) et on décompose mn(m30 - n30) comme précédemment pour 60.

Divisibilité par 13 :

On a 60 = 5 12. Vu que, d'une façon générale, ap - bp est divisible par a - b, on a ici m60 - n60 multiple de m12 - n12 et on fera apparaître m13 - m et n13 - n à la manière précédente.

Divisibilité par 11, 7, 5, 3 :

Comme précédemment vu que 60 = 6 10 = 10 6 = 15 4 = 30 2.

Divisibilité par 2 :

N = mn(m60 - n60) est un multiple de m2 - n2 = (m + n)(m - n). Si m et n n'ont pas la même parité, n est divisible 2 puisque m ou bien n le sera. Si m et n ont même parité, m + n est divisible par 2.


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