![]() ![]() |
» exercice rencontré dans Cours de mathématiques spéciales, H. Commissaire & G. Cagnac, Ed. Masson, 1941.
1°/ Pour quelles valeurs de m l'équation :
x4 - 6x3 + mx2 - 11x + 6 = 0
a-t-elle deux racines de somme 5 ?
2°/ Résoudre cette équation
dans chaque cas trouvé.
Indications :
on se reportera aux
relations symétriques des
racines établies par François Viète.
Solution |
x4 - 6x3 + mx2 - 11x + 6 = 0
Notons a et b les deux solutions de somme 5. Les relations entres coefficients et racines s'écrivent ici :
On déduit des 2 premières équations : u + v = 1;
Du système en ab et uv issu des troisième et quatrième équations : ab = 5m/4 - 9 et uv = 4 - m/4.
On reporte ab et uv dans la cinquième pour obtenir une équation du second degré en m :
5m2 - 116m + 672 = 0
dont les solutions sont m = 12 et m = 56/5.
2°/ Chaque cas se ramène élémentairement au calcul des racines d'une équation du second degré connaissant leur somme et leur produit :
Le cas m = 12 conduit à a + b = 5 et ab = 6, donc à l'équation X2 - 5X + 6 = 0 de solutions 2 et 3 de somme 5. Seules solutions de l'équation initiale car le système u + v = 1 et uv = 1 est incompatible.
Le cas m = 56/5 conduit à a + b = 5 et ab = 5, donc à l'équation X2 - 5X + 5 = 0 de solutions (5 ± √5)/2 de somme 5. Seules solutions, car là encore, le système u + v = 1 et uv = 6/5 est incompatible.