» exercice rencontré dans Cours de mathématiques spéciales, H. Commissaire & G. Cagnac, Ed. Masson, 1941.

1°/ Pour quelles valeurs de m l'équation :

x⁴ - 6x³ + mx² - 11x + 6 = 0

a-t-elle deux racines de somme 5 ?

2°/ Résoudre cette équation dans chaque cas trouvé.
      Indications : on se reportera aux relations symétriques des racines établies par François Viète.

x⁴ - 6x³ + mx² - 11x + 6 = 0

Notons a et b les deux solutions de somme 5. Les relations entres coefficients et racines s'écrivent ici :

• On déduit des 2 premières équations : u + v = 1;

• Du système en ab et uv issu des troisième et quatrième équations : ab = 5m/4 - 9 et uv = 4 - m/4.

On reporte ab et uv dans la cinquième pour obtenir une équation du second degré en m :

5m² - 116m + 672 = 0

dont les solutions sont m = 12 et m = 56/5.

2°/ Chaque cas se ramène élémentairement au calcul des racines d'une équation du second degré connaissant leur somme et leur produit :

• Le cas m = 12 conduit à a + b = 5 et ab = 6,  donc à l'équation X² - 5X + 6 = 0 de solutions 2 et 3 de somme 5. Seules solutions de l'équation initiale car le système u + v = 1 et uv = 1 est incompatible.

• Le cas m = 56/5 conduit à a + b = 5 et ab = 5, donc à l'équation X² - 5X + 5 = 0 de solutions (5 ± √5)/2 de somme 5. Seules solutions, car là encore, le système u + v = 1 et uv = 6/5 est incompatible.