ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Cercle inscrit dans un
triangle et mesure des côtés
niveau 3ème |
On considère un triangle ABC et son cercle inscrit de centre O (point de concours des bissectrices). On rappelle que ce cercle est tangent intérieurement aux côtés du triangle. Son rayon est OK = 3 cm, perpendiculaire à [AC].
Compte tenu des mesures indiquées en cm sur la figure ci-dessous, on demande de calculer AB et BC en arrondissant les valeurs trouvées à 0,1 près.
Indications :
On calculera tout d'abord les mesures des angles ^A et ^C du triangle en arrondissant ces mesures au degré près. On en déduira la mesure de l'angle ^B.
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Complétons la figure en codant et notant les mesures connues en utilisant un résultat important : les segments tangents issues d'un point extérieur à un cercle ont même mesure : AK = AH, BH = BL, CK = CL.
Dans les triangles rectangles AOK et COK, on a respectivement tan(^A/2) = OK/AK = 3/3,5 et tan(^C/2) = OK/CK = 3/8,5. La calculatrice fournit alors ^A/2 = 40.6..., soit ^A = 81° (arrondi au degré près) et ^C/2 = 19,4..., soit ^C = 39° (au degré près). On en déduit ^B = 180° - ^A - ^B = 60°.
Dans le triangle BOH, rectangle en H, on a OH = BH × tan(^B/2), d'où BH = BL = 3/tan 30° ≅ 5,2 cm.
En conclusion :
AB = 8,7 cm, BC = 13, 7 cm, AC = 12 cm.