ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'un ensemble de points (lieu géométrique)             TerS        géométrie élémentaire (angles inscrits, sym. axiale, translation), parabole par foyer et directrice

On considère dans un plan un cercle (c) de centre O de rayon R, un diamètre [AB] de ce cercle et une droite (d) perpendiculaire en K à la droite (AB) telle que B soit un point du segment ]A,K[ :

Soit M un point de (c) distinct de A et B. La droite (AM) coupe (d) en en N. On appelle (t) la tangente à (c) en M. Elle coupe (d) en E.

1°)

a)  Montrer que ^MBA = ^MNK
b)  En déduire que le triangle MNE est isocèle en E.

2°)

a)  Construire, en justifiant brièvement, un cercle (γ) de centre ω tangent à (c) en M et passant par N.
b)  Montrer que le cercle (γ) existe et est unique.
c)  Montrer que (γ) est tangent à (d) en N.

3°)  Soit T la translation de vecteur AO, (d') l'image de (d) par T et H la projection orthogonale de ω sur (d'). Montrer que lorsque M varie sur (c), ω appartient à une parabole de foyer O, dont on précisera la directrice et l'axe.

1°)

a) [AB] étant un diamètre de (c), le triangle AMB est rectangle en M, on a donc (MB) ⊥ (MN). Par hypothèse (KN) ⊥ (BA). En conclusion ^MBA = ^MNK en tant qu'angles à côtés perpendiculaires.

b) la droite (t) = (ME) est tangente à (c) en M. Par suite, ^MBA = ^(Mt,MA) : angles inscrits interceptant le même arc. Or ^(Mt,MA) = ^NME : angles opposés par le sommet. finalement, dans le triangle MNE,; les angles ^M et ^N ont même mesure : le triangle est isocèle en E.

2°)

a)  Le centre ω du cercle en question admet ωM comme rayon. Etant tangent à (c) en M, on a donc (ωM) ⊥ (t). Donc est situé sur (OM). Le triangle  MNE étant isocèle en E, ω est situé sur la médiatrice (m) de [MN], d'où {ω} = (OM) ∩ (m). Le centre ω existe et est unique car M n'étant ni en a, ni en B, la droite (OM) est distincte de (MN). C'est dire que  (γ) existe et est unique.

b) Dans la symétrie d'axe (m), E est invariant, M a pour image N et (t) a pour image (d) = (KN). La symétrie conserve les contacts : (d) est tangent à (γ) en N.

3°) 

(d) étant tangente au cercle (γ), on a (ωN) ⊥ (d). Par la translation T de vecteur AO, (d') est parallèle à (d) et les points ω, n et H sont donc alignés avec NH = AO. On en déduit ωO/ωH = 1. Par conséquent ω est situé sur la parabole de foyer O de directrice (d'). Son axe doit passer par le foyer et être perpendiculaire à la directrice : c'est donc (AB).

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