ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude de y = x.sin(1/x)       animation            étude de x²cos(1/x)

L'objectif est ici de montrer qu'une fonction dérivable en un point xo peut posséder une fonction dérivée dont la limite en ce point ne correspond pas avec la réalité... Le cas de la fonction xx2cos(1/x), dont le lien est indiqué ci-dessus, où la fonction est dérivable en 0 alors que sa dérivée ne possède pas de limite, est encore plus édifiant !

On étudie ici f la fonction définie sur R par :

Cette fonction est continue et dérivable en tout point de R privé de 0. Au voisinage de 0, sin(1/x) oscille entre -1 et 1 et le facteur x assure la limite en 0 de f. Cette fonction est donc continue en x = 0 de par sa définition en ce point.

Courbe animée par wims. Merci de patienter...
Animation générée par wims

La fonction f est paire, on peut se limiter à son étude sur R+. En tout x non nul, f est manifestement dérivable comme composée de telles fonctions et :

f '(x) = sin(1/x) - 1/x cos(1/x)

La fonction dérivée n'est pas définie en 0. Étudions la dérivabilité de f en revenant à la définition d'une fonction dérivée :

   

Au voisinage de 0, 1/x tend vers +. Par suite, sin(1/x) oscille entre -1 et 1: le taux d'accroissement de f en 0 n'a pas de limite : f n'est donc pas dérivable en zéro. Ce que confirme l'étude graphique affinée par un zoom au voisinage de 0 :

Courbe animée par wims. Merci de patienter...

Si l'on cherche, à tort, la limite de la fonction dérivée f ', on pourrait croire à des oscillations de f ' d'amplitude croissante puisque 1/x tend vers l'infini.

 Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point xo litigieux (n'appartenant pas au domaine de dérivabilité), on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en xo : passer à la limite peut être licite à condition de savoir que f ' est continue en xo. La dérivée peut EXISTER sans pour autant avoir de LIMITE en ce point : étudier le second cas très édifiant sur ce point...

Noter que la courbe admet la droite d'équation y = 1 comme asymptote horizontale au voisinage de l'infini : en effet, 1/x tend alors vers 0 et par suite, en posant X = 1/x, on est ramené à la limite en 0 de sin(X)/X : cette limite de référence est égale à 1.


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