ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude de y = x.sin(1/x)      ••• animation          » étude de x2cos(1/x)

L'objectif est ici de montrer qu'une fonction dérivable en un point x_o peut posséder une fonction dérivée dont la limite en ce point ne correspond pas avec la réalité... Le cas de la fonction x →x²cos(1/x), dont le lien est indiqué ci-dessus, où la fonction est dérivable en 0 alors que sa dérivée ne possède pas de limite, est encore plus édifiant !

On étudie ici f la fonction définie sur R par :

Cette fonction est continue et dérivable en tout point de R privé de 0. Au voisinage de 0, sin(1/x) oscille entre -1 et 1 et le facteur x assure la limite en 0 de f. Cette fonction est donc continue en x = 0 de par sa définition en ce point.

Animation générée par wims

La fonction f est paire, on peut se limiter à son étude sur R⁺. En tout x non nul, f est manifestement dérivable comme composée de telles fonctions et :

La fonction dérivée n'est pas définie en 0. Étudions la dérivabilité de f en revenant à la définition d'une fonction dérivée :

Au voisinage de 0, 1/x tend vers +∞. Par suite, sin(1/x) oscille entre -1 et 1: le taux d'accroissement de f en 0 n'a pas de limite : f n'est donc pas dérivable en zéro. Ce que confirme l'étude graphique affinée par un zoom au voisinage de 0 :

Si l'on cherche, à tort, la limite de la fonction dérivée f ', on pourrait croire à des oscillations de f ' d'amplitude croissante puisque 1/x tend vers l'infini.

» Noter que la courbe admet la droite d'équation y = 1 comme asymptote horizontale au voisinage de l'infini : en effet, 1/x tend alors vers 0 et par suite, en posant X = 1/x, on est ramené à la limite en 0 de sin(X)/X : cette limite de référence est égale à 1.

 !    Moralité... :     

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point x_o, on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en x_o car cette dernière peut exister en ce point sans pour autant avoir de limite en ce point.

 i   Passer à la limite peut être licite à condition de savoir que f ' est continue en x_o.