ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Loi de Pareto

La loi de Pareto exprime que le nombre N de contribuables soumis à un impôt r sur le revenu, dans une société donnée et pour une période donnée, est une fonction puissance décroissante du revenu, c'est dire qu'il existe deux nombres positifs a et k tel que :

Vérifions cette loi de régression "puissance" sur un exemple :        

Une étude statistique portant sur le revenu annuel des contribuables soumis à l'impôt sur les salaires en 1984 dans un pays X... d'Afrique francophone faisait ressortir le tableau suivant :

revenus ri en milliers de francs CFA
centre
Xi = log ri
nombre Ni de contribuables
(en milliers)
Yi = log Ni
[30 , 60[
45
1,653
1286
3,109
[60 , 100[
80
1,903
612
2,787
[100 , 120[
110
2,041
337
2,528
[120 , 200[
160
2,204
201
2,303
[200 , 300 [
250
2,398
113
2,053
[300 , 500[
400
2,602
41
1,613
[500 ,1000[
750
2,875
19
1,279
Plus de 1000
///
///
9
0,954

En utilisant le logarithme décimal (log) et 2 cm comme unité en abscisse et ordonnée, on représente le nuage de points Mi(Xi,Yi) définis par Xi = log ri , Yi = log Ni. On constate, ci-contre, un très bon alignement de ces points.

En ajustant ce nuage par la droite de Y en X par la méthode des moindres carrés, au moyen d'une calculatrice de poche (c'est autorisé!), on obtient rapidement (arrondis à 10-4) :

Y = -1,5315 X + 5,6686

Un résultat que nous arrondissons au centième, soit :

Y = - 1,53X + 5,69

c'est à dire en fait : log N = -1,53log(r) +5,69 = log(r-1,53) + 5,69

On en déduit :

N = r-1,53 × 105,69 489779/ r1,53

et, ci-dessous, la représentation de N en fonction de r : la courbe s'ajuste parfaitement aux données.


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