ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de l'inverse d'une matrice par opérations élémentaires sur les colonnes

On se propose ici de calculer par une méthode particulièrement bien adaptée à la programmation, la matrice inverse d'une matrice carrée non singulière. Ce calcul peut s'interpréter comme la recherche de la matrice de l'application réciproque d'un automorphisme φ d'un espace vectoriel (endomorphisme bijectif).

Afin d'illustrer concrètement la méthode, choisissons le cas d'une matrice 3 × 3, matrice d'un automorphisme φ d'un espace vectoriel E dont une base est notée B = (u,v,w). Le contexte devant enlever toute ambiguïté, les flèches sur les vecteurs seront omises.

La notation id désignera l'automorphisme identique de E, id(v) = v pour tout v de E et I et sa matrice; M = (a_ij) désignera la matrice de φ dans la base B (i est l'indice des lignes, j celui des colonnes) :

La méthode utilisée est à rapprocher de l'algorithme de Gauss, dite méthode du pivot, relatif à la résolution de systèmes linéaires. On procédera par transformations dites "élémentaires" sur les colonnes de la matrice à inverser. On pourrait tout aussi bien opérer sur les lignes.

I - notations et définitions :     

Notons c₁, c₂, c₃ les colonnes de M :  M = (c₁, c₂, c₃)

1. ♦ On note E_ij l'automorphisme permutant les colonnes i et j de M; par exemple E₁₃ est défini par E₁₃(u) = w, E₁₃(v) = v, E₁₃(w) = u. L'automorphisme réciproque de E_ij est E_ji. Par conséquent, la matrice de φ o E₁₃ permute les colonnes 1 et 3 de M  qui devient (c₃, c₂, c₁).

2. ♦ On note E_i (k), k réel non nul, l'automorphisme multipliant la colonne i de M par k :
   φ o E₂(-3) transforme M = (c₁, c₂, c₃) en (c₁, -3c₂, c₃). L'automorphisme réciproque de E_i (k) est E_i (1/k).

    ➔  L'automorphismes réciproque de E_i (k) est E_i (1/k).

3. ♦ On note E_{i - j} (k), k réel non nul, est l'automorphisme soustrayant à la colonne i de M, la colonne j multipliée par k :
   φ o E_1-3(2) transforme M = (c₁, c₂, c₃) en (c₁ - 2c₃, c₂, c₃). L'automorphismes réciproque de E_{i - j} (k) est E_{i + j} (k).

II - Application au cas de la matrice M :     

1ère étape :    

On suppose ici que a₁₁, premier élément diagonal est non nul et considérons l'automorphisme composé :

φ₁ = φ o E_3-1(a₁₃) o E_2-1(a₁₂) o E₁(1/a₁₁)     (1)

E₁(1/a₁₁) divise a₁₁ par la première colonne de M. La 1ère ligne de la matrice M₁ de φ₁ est nulle à l'exception de son premier élément qui vaut 1: c'est la première ligne de la matrice unité.

Si a₁₁, appelé pivot, s'était avéré nul on aurait procédé préalablement à l'échange des colonnes 1 et 2 de M en notant que cela change le signe de son déterminant. Le composé (1) ci-dessus serait alors :

φ₁ = φ o E_3-1(a₁₃) o E_2-1(a₁₂) o E₁(1/a₁₁) o E₁₂     (1')

Et si a₁₂ est également nul, le dernier essai se fera avec a₁₃ qui ne peut être nul à moins que la matrice M ne soit pas inversible !

2ème étape :    

On procède de la même manière en s'occupant cette fois du second élément diagonal :

φ₂ = φ₁ o E_3-2(a₂₃) o E_1-2(a₂₁) o E₂(1/a₂₂) o E₁₂ ou E₂₃ si nécessaire

La première ligne de M₁ n'a pas été affectée par cette transformation. On obtient ainsi la matrice M₂ de φ₂ dont la seconde ligne est nulle à l'exception de son élément diagonal qui vaut 1. C'est la seconde ligne de la matrice unité.

3ème étape :    

On procède de la même manière en s'occupant du troisième et dernier élément diagonal quitte, s'il est nul, à permuter avec la colonne 1 ou 2 :

φ₃ = φ₂ o E_2-3(a₃₂) o E_1-3(a₃₁) o E₃(1/a₃₃) o E₁₃ ou E₂₃ si nécessaire

La 3è ligne de la matrice M₃ de φ₃ est nulle à l'exception de son 3è élément valant 1. Les première et seconde lignes n'ont pas été modifiées. φ₃ est donc finalement l'application identique id. Notons T₁, T₂, T₃ les transformations intervenant à droite de φ, φ₁ et φ₂ dans les composées précédentes :

• φ₁ = φ o T₁ ,  φ₂ = φ₁ o T₂ ,  φ₃ = φ₂ o T₃. D'où  φ₃ = id = φ o (T₁ o T₂ o T₃). Le produit de composition T₁ o T₂ o T₃ n'est donc autre que φ^-1.

Finalement la matrice inverse de M est celle du composé T1 o T2 o T3 et plus généralement, à l'ordre n, T1 o T2 o ... oTn