ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Polynômes réciproques
    Réduction et résolution des équations réciproques de degré pair

Soit P un polynôme de la variable x, à coefficients réels ou complexes de la forme :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + ao ,

Le polynôme réciproque de P, noté Q ci-dessous, s'obtient en remplaçant les ak par les an-k pour tout k = 0, 1, ..., n :

Q(z) = aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-2x2 + an-1x + an

On déduit immédiatement de la définition que :

Q(x) = xnP(1/x)  et, réciproquement... : P(x) = xnQ(1/x)


Montrer que tout polynôme réciproque de degré impair admet -1 comme zéro

Application à la résolution d'une équation réciproque de degré 4 :    

En tant qu'exercice, on apprend au lycée à ramener au degré 2 la résolution d'une équation réciproque de degré 4 en posant X = x + 1/x. Prenons l'exemple de l'équation x4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 = 0 :

      

Cas général d'une équation polynomiale réciproque de degré pair :  

D'une façon générale, l'équation algébrique P(x) = 0 où P est un polynôme réciproque de degré pair n = 2p n'admettant pas 0 comme racine (ao 0) peut se ramener à une équation de degré p = n/2 d'inconnue X = x + 1/x en mettant xp en facteur :

P(x) = xp(anxp + an-1xp-1 + an-2xp-2 + ... + an-p + an-p-1/x + an-p-2/x2 + ... + a1/xp-1 + ao/xp)

P étant réciproque, on a ak = an - k pour tout k = 0, 1,2, ... n. Ce qui permet d'écrire :

P(x)/xp = ao(xp +1/xp) + a1(xp-1 +1/xp-1) + ... + ap-2(x2 +1/x2) + ap-1(x + 1/x)+ ap           (3)

En développant Ak = (x + 1/x)k par la formule du binôme de Newton et en remarquant que le changement de x en 1/x laisse Ak invariant, on peut affirmer que pour tout k, la somme Ak = xk +1/xk est un polynôme de degré k en X (on peut aussi procéder par récurrence) :

L'expression (3) conduit donc à une équation algébrique d'inconnue X de degré n/2. Lorsque X est obtenu, on calcule x en résolvant l'équation du second degré en x : x2 - Xx + 1 = 0


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