ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Trajectoires orthogonales d'une famille d'ellipses       niveau Sup

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,x,y). a désignant un paramètre réel, on considère la famille d'ellipses (E) définie par l'équation cartésienne :

1. Existe-t-il des trajectoires orthogonales contenant des points d'abscisse nulle ?

2. Montrer que les trajectoires orthogonales à (E), autres que (Oy) vérifient l'équation différentielle :

2. Intégrer cette équation et vérifier que la solution peut se mettre sous la forme :

x² + y² = 8ln|x| + k, k∈R

En rouge, quelques ellipses de la famille; en vert, quelques trajectoires orthogonales

3. On s'intéresse ici à la trajectoire orthogonale (T) d'équation :

x² + y² - 8ln|x| = 1

Le changement de x en - x ou de y en -y laisse l'équation invariante. On peut donc étudier (T) dans le quart de plan (xOy) défini par x > 0, y ≥ 0 et compléter l'étude par symétries d'axe (Ox) et (Oy).

a/ On pose :

Montrer que g est positive si et seulement si x est élément de l'intervalle J = [1,α] où α est un réel que l'on précisera à 0,1 près.

Réponse résumée : Sur ]0,+- ∞[, g est continue et dérivable. g'(x) = 8/x - 2x est du signe de 2 -x. g croît sur ]0,2[ et passe par un maximum en x = 2 de valeur 2,54 à 0,01 près. On remarque que g(1) = 0. Lorsque x tend vers l'infini, l'écriture g(x) = x[8ln(x)/x - x + 1/x] montre que lim g = - ∞. Par continuité, on peut donc affirmer que g s'annule en un unique point α > 2. On a g(3) = 8ln3 - 8 > 0, g(3,2) > 0, g(3,3) < 0. Par conséquent 3,2 < α < 3,3. En conclusion, g est positive sur J et nulle en 1 et α.

b/ Déduire de a/ la représentation graphique de (T) sans le quart de plan (xOy). Compléter par symétries.

Réponse résumée : y² = g(x). Si on se restreint à y ≥ 0 sur J, on a y = √g(x) et 2yy' = g'(x). y' garde le signe de g' : c'est dire que y  même sens de variation que g. y s'annule en x = 1 et x = α, par conséquent, vu que y' = ½g'(x)/y, la courbe (T) admet en ces points une tangente verticale. Le maximum de y est sensiblement 1,6 au point x = 2. (T) est tracée en vert ci-dessous :

Ellipse pour a = 1 et et trois trajectoires orthogonales pour k = 1, 2 et 3. (T) est en vert (k = 1)

4. Vérifier que (T) est effectivement une trajectoire orthogonale de l'ellipse (E) d'équation x²/4 + y² = 1 (a = 1).

Réponse résumée : plaçons-nous en un des points d'intersections M (x,y). On a x²/4 + y² = 1 et x² + y² - 8ln|x| = 1 avec y non nul. Dérivons par rapport à x : d'une part, pour l'ellipse (E), yy'_E = -x/4, d'autre part, pour la trajectoire (T), yy'_T = 4/x - x; ce qui conduit à y'_Ey'_T = -1/y² + ¼x²/y² = -1/y²⁽ ¼x² - 1) = -1 : les tangentes aux points d'intersection sont perpendiculaires.