ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une suite récurrente   niveau Bac+1, BTS   extrait BTS informatique de gestion 1990

On considère la suite numérique (u) à termes strictement positifs, définie par  :

(u_n+2)² = u_nu_n+1  , u_o = 1 , u₁ = 2

L'objectif est de prouver que cette suite est convergente et de calculer sa limite.

On pose v_n = ln(u_n), ln désignant la fonction logarithme népérien. On définit ainsi une suite (v).

1°/  Montrer que la suite (v) vérifie la relation de récurrence notée (r) :

2v_n+2 = v_n + v_n+1        (r)

2°/ Montrer que la suite géométrique (w) de raison -½, de premier terme 1 vérifie la relation (r). Justifier cependant que (w) ne vérifie pas w_n =  ln(u_n) pour tout n de N.

3°/ Montrer qu'il existe en fait deux suites géométriques de raisons non nulles, de premier terme 1, vérifiant cette relation.

4°/  Montrer que si (y_n) et (z_n) sont des suites vérifiant la relation (r), c'est à dire 2y_n+2 = y_n + y_n+1 et 2z_n+2 = z_n + z_n+1 , il en est alors de même de toute suite (t_n) de terme général t_n = ay_n + bz_n, a et b désignant des nombres réels quelconques.

En  déduire que la suite (w_n) de terme général w_n = a + b(-½)ⁿ vérifie (r) pour toutes valeurs de a et b.

5°/ On admet que la suite (v_n) définie en 2° vérifie effectivement une relation de la forme :

v_n = a + b(-½)ⁿ

Calculer a et b. En déduire la convergence de la suite (v_n) et la valeur de sa limite.

6°/ Donner l'expression de u_n en fonction de n. Justifier que la suite  (u_n)  converge et préciser sa limite.

1°/  La relation (r) est évidente : prendre le logarithme des deux membres strictement positifs par hypothèse.

2°/ On a w_n = (-½)ⁿ. Donc 2w_n+2 = 2 × (-½)ⁿ⁺² = 2 × (-½) × (-½)ⁿ⁺¹ = - (-½)ⁿ⁺¹
D'autre part : w_n + w_n+1 = (-½)ⁿ + (-½)ⁿ⁺¹ = (-½)ⁿ × [1 + (-½)] =  (-½)ⁿ × (½) =  -(-½)ⁿ × (-½) = - (-½)ⁿ⁺¹ : la suite (w) vérifie la relation (r).

La suite de terme général v_n = ln(u_n), vérifie v_o = ln(u_o) = ln(1) = 0. Or w_o = (-½)^o = 1. On notera aussi que v₁ = ln(u₁) = ln2 alors que w₁ = -1/2. La suite (w) ne vérifie donc pas w_n =  ln(u_n).

3°/ Une suite géométrique (g_n) de raison q de 1er terme 1 vérifie g_n = qⁿ.

On reporte dans (r) et on divise par qⁿ non nul : il vient 2q² = 1 + q, équation du second degré fournissant q = 1 (suite constante g_n = 1 pour tout n) ou q = -1/2 fournissant la suite de terme général g_n = (-1/2)ⁿ.

4°/ C'est bien évident...

5°/ v_n = a + b(-½)ⁿ. En appliquant cette relation à vo = 1 et v1 = ln2, on obtient le système :

a + b = 0
a - ½b = ln2

Ce petit système 2 x 2 conduit à a = 2ln(2)/3 et b = - 2ln(2)/3. On en déduit :

(-½)ⁿ tend vers 0 puisque | -1/2 | = 1/2 < 1, donc v_n tend vers 2 × ln(2)/3. Or, v_n = lnu_n : on en déduit par passage à l'exponentielle et par continuité de cette fonction que u_n  tend vers :