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Étude d'une suite récurrente   niveau Bac+1, BTS   extrait BTS informatique de gestion 1990

On considère la suite numérique (u) à termes strictement positifs, définie par  :

(un+2)2 = unun+1  , uo = 1 , u1 = 2

L'objectif est de prouver que cette suite est convergente et de calculer sa limite.

On pose vn = ln(un), ln désignant la fonction logarithme népérien. On définit ainsi une suite (v).

1°/  Montrer que la suite (v) vérifie la relation de récurrence notée (r) :

2vn+2 = vn + vn+1        (r)

2°/ Montrer que la suite géométrique (w) de raison -½, de premier terme 1 vérifie la relation (r). Justifier cependant que (w) ne vérifie pas wn =  ln(un) pour tout n de N.

3°/ Montrer qu'il existe en fait deux suites géométriques de raisons non nulles, de premier terme 1, vérifiant cette relation.

4°/  Montrer que si (yn) et (zn) sont des suites vérifiant la relation (r), c'est à dire 2yn+2 = yn + yn+1 et 2zn+2 = zn + zn+1 , il en est alors de même de toute suite (tn) de terme général tn = ayn + bzn, a et b désignant des nombres réels quelconques.

En  déduire que la suite (wn) de terme général wn = a + b(-½)n vérifie (r) pour toutes valeurs de a et b.

5°/ On admet que la suite (vn) définie en 2° vérifie effectivement une relation de la forme :

vn = a + b(-½)n

Calculer a et b. En déduire la convergence de la suite (vn) et la valeur de sa limite.

6°/ Donner l'expression de un en fonction de n. Justifier que la suite  (un)  converge et préciser sa limite.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

1°/  La relation (r) est évidente : prendre le logarithme des deux membres strictement positifs par hypothèse.

2°/ On a wn = (-½)n. Donc 2wn+2 = 2 (-½)n+2 = 2 (-½) (-½)n+1 = - (-½)n+1
D'autre part : wn + wn+1 = (-½)n + (-½)n+1 = (-½)n [1 + (-½)] =  (-½)n (½) =  -(-½)n (-½) = - (-½)n+1
: la suite (w) vérifie la relation (r).

La suite de terme général vn = ln(un), vérifie vo = ln(uo) = ln(1) = 0. Or wo = (-½)o = 1. On notera aussi que v1 = ln(u1) = ln2 alors que w1 = -½. La suite (w) ne vérifie donc pas wn =  ln(un).

3°/ Une suite géométrique (gn) de raison q de 1er terme 1 vérifie gn = qn.

On reporte dans (r) et on divise par qn non nul : il vient 2q2 = 1 + q, équation du second degré fournissant q = 1 (suite constante gn = 1 pour tout n) ou q = -1/2 fournissant la suite de terme général gn = (-1/2)n.

4°/ C'est bien évident...

5°/ vn = a + b(-½)n. En appliquant cette relation à vo = 1 et v1 = ln2, on obtient le système :

a + b = 0
a - ½b = ln2

Ce petit système 2 x 2 conduit à a = 2ln(2)/3 et b = - 2ln(2)/3. On en déduit :

(-½)n tend vers 0 puisque | -½ | = ½ < 1, donc vn tend vers 2ln(2)/3. Or, vn = lnun : on en déduit par passage à l'exponentielle et par continuité de cette fonction que un  tend vers :


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