ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Lorsque PGCD(a,b) = a - b...       niveau TerS SpéMath

1°/ On considère deux entiers naturels a et b a et b, a > b. Démontrer l'équivalence :

pgcd(a,b) = a - b ⇔ il existe deux entiers n et p tels que a = pn et b = p(n - 1)

2°/ Déterminer a et b sachant que :

pgcd(a,b) = a - b et ppcm(a,b) = 30.

1°/ si a et b sont de la forme énoncée a = np et b =p(n - 1), on a b = a - p; donc si d est un diviseur commun aux deux entiers a et b, alors d divise a = np, donc d divise p. C'est dire que p est le PGCD de a et b avec p = a - b.

Inversement si p = a - b est le PGCD de a et b, alors a = np et b = kp avec pgcd(n,k) = 1. Par suite p = np - kp = p(n - k), donc n - k = 1.  c'est dire que k = n - 1, donc b = p(n - 1).

2°/ On a ici a - b = p, a = np et b = p(n - 1). Or ab = pgcd(a,b) × ppcm(a,b), donc ab = 30p, ce qui s'écrit :

np × p(n - 1) = 30p, c'est à dire np(n - 1) = 30

Procédons par épuisement des cas en remarquant que n, p et n - 1 sont des diviseurs de 30 et que les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 :

D'où les solutions :

• a = 30 , b = 15

• a = 15 , b = 10

• a = 6 , b = 5