ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Permutations circulaires      niveau Sup

Soit E = {a1, a2, ..., an} un ensemble non vide de n éléments distincts et k un entier naturel, k n. On considère l'application fk de E dans E définie par :

Une telle application est une permutation circulaire de E.        

  Exemple illustré de toutes les permutations de {a,b,c,d}

En termes concrets : c'est le principe des piles d'assiettes ! par exemple, une permutation circulaire de {1 , 2 , 3 , 4} est, en partant de 3 : {3 , 4 , 1 , 2 } : les assiettes 1 et 2 sont passées sous la 4 (la dernière), l'assiette 2 restant à la suite de la 1.

a/ Dans cette question seulement, on se place dans le cas n = 5 et k = 2. Montrer que :

f2 o f2 = f4  , f2 o f2 o f2 = f1 , f2 o f2 o f2 o f2 o f2 = idE

b/ Montrer que fk est une bijection de E sur E.

c/ Si k et k ' sont des entiers naturels inférieurs ou égaux à n, montrer que fk o fk' est une permutation circulaire de E.

d/ Plus généralement, on note :

Montrer que fk(p) est une permutation circulaire de E.

e/ Préciser fk-1 et montrer que fk-1 est une permutation circulaire de E.

f/ Montrer, que muni de la loi de composition des applications, l'ensemble P des itérés de fk est un
groupe cyclique, sous-groupe du groupe symétrique de E, dont on donnera l'ordre.

Indications :  

a/ Faire un tableau d'images pour visualiser le processus.
c/ Soit r le reste de la division de k + k' par n...
e/ Considérer fk o fk(n-1)...


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