ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Étude d'une fonction numérique      niveau Sup       usage d'un développement limité d'ordre 5

On considère la fonction f définie pour tout réel x par :

- I -

1°)  Montrer, en étudiant le sens de variation de la fonction δ : x → sin x - x, que l'on a sin x ≤ x pour tout x de R⁺ et que l'égalité sin x  = x n'a lieu qu'en x = 0. En déduire que f est définie pour tout x de R.

2°) Montrer que f est paire et continue sur R (on développera la fonction sinus à l'ordre 3).

3°) Vérifier que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0.

4°) Calculer f'(x) pour tout x de R*. Justifier que f'(x) est du signe de φ(x) =  x(cos x + 2) - 3sin x.

5°) Donner le développement limité de φ(x) à l'ordre 5. En déduire le sens de variation de f. Donner l'allure de sa courbe représentative dans un repère orthogonal convenable.

- I I -

On se propose ici de retrouver le signe de la fonction dérivée de f par une méthode fondée sur la concavité d'une courbe :

On pose :

1°) Justifier brièvement que g est 2π-périodique et que l'on a pour tout x ≥ 0, g(x) ≤ √3.

2°) La courbe (Cg), représentative de g, est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé restreint à 0 ≤ x ≤ 7. Préciser la tangente à  (Cg) en x = 0.

3°) En calculant g''(x), justifier que (Cg) est concave sur l'intervalle [0,2π/3]. En déduire que la courbe reste en dessous de sa tangente à l'origine pour tout x de R⁺.

4°) Retrouver alors les conclusions de I - 5°.

- I -

1°) trop facile...

2°) La fonction sinus est impaire, f est donc le quotient de deux fonctions impaires : c'est une fonction paire.

3°) En remplaçant sin x par son développement limité d'ordre 3 : sin x = x - x³/6 + o(x⁵), l'affaire est entendue...

4°) Pour tout x non nul :

f'(x) est donc du signe du crochet dans son expression ci-dessus, c'est à dire du signe de φ(x) =  x(cos x + 2) - 3sin x.

5°) On a pour tout x, sin x = x - x³/6 + x⁵/120 + o(x⁷) et cos x = 1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁶). Par suite :

φ(x) = x[3 - x²/2 + x⁴/24] - 3[x - x³/6 + x⁵/120] + o(x⁶) = x⁵/60 + o(x⁶)

La fonction φ est donc du signe de x sur R. Ce qui conduit au sens de variation de f et à sa représentation graphique :

- I I -

1°) Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, on a donc g(x + 2π) = g(x) : g est 2π-périodique.

 ➔  On remarque que g(π) = 0 et g(π + x) = - g(π - x), et plus généralement g(kπ) = 0 et g(kπ + x) = - g(kπ - x) : sur chaque période, les arches de (Cg) sont symétriques par rapport aux points de coordonnées (kπ,0).

g' est du signe de 2cosx + 1 et sur [0,2π], g' s'annule en x = 2π/3 et 4π/3, valeurs qui correspondent à un maximum (resp. minimum) absolu de valeur √3 (resp. -√3). On a donc bien g(x) ≤ √3 pour tout x ≥ 0.

2°) En x = 0, cos 0 = 0, g'(0) = 9/9 = 1. (Cg) passant par l'origine, l'équation de sa tangente en ce point est y = x.

3°) Un calcul élémentaire conduit à :

Sur l'intervalle [0,2π/3], on a  sin x ≥ 0 (nul en 0), cos x + 2 > 0,  cos x - 1 ≤ 0 (nul en 0) : on a donc g''(x) < 0 sauf en x = 0 où g" s'annule : la courbe est donc concave sur l'intervalle considéré : elle reste en dessous de sa tangente à l'origine en atteignant l'ordonnée maximale √3 en x = 2π/3 :

 ➔  En prolongeant l'étude à x < 0, on notera que g" s'annule en 0 en changeant de signe avec sin x : il s'agit pour Cg d'un point d'inflexion que l'on retrouve en tout point de coordonnées  (kπ,0).

4°) Au delà de l'intervalle (x ≥ 2π/3), la périodicité de g permet de conclure que sur [0,+∞[ la courbe (Cg) se situe "au-dessous" de sa tangente en x = 0 d'équation y = x. On peut donc écrire que pour tout x ≥ 0, on a 3sin x/(cos x + 2) ≤ x.

Par suite x(cos x + 2) - 3sin x ≥ 0 pour tout x de R⁺. La fonction dérivée de f est donc positive sur R⁺ : c'est dire que f est strictement croissante sur cet intervalle. On obtient la courbe restreinte à R⁺ que l'on complète, du fait de la parité, par symétrie par rapport à (Oy) en retrouvant ainsi les conclusions de la 1ère partie.