ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

         niveau Ter/BTS indus

On note z = x + iy l'affixe d'un point m(x,y) du plan rapporté à un repère orthonormé. On associe à m le point M d'affixe :

i désigne le nombre complexe tel que i2 = -1. On pose M = T(m) et on note A, A' et B les points d'affixes respectifs 1, -1 et i.

1°) Quel est l'ensemble des points M lorsque m décrit la droite (d) d'équation y = 1 privée du point B ?

2°) Exprimer z en fonction de Z. En déduire l'image par T du cercle (U) de centre 0, de rayon 1 ?

3°) Déterminer l'image par T du disque ouvert de centre O, de rayon 1 : ce disque est l'ensemble des points intérieurs à (U).

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) Un point m de (d) autre que B est caractérisé par son affixe z = x + i, x non nul. Ce qui revient à Z = 1 + 2i/x, x non nul. Si l'on pose Z = X + iY, on a donc X = 1 et Y décrit R*. En conclusion, M décrit la droite d'équation x = 1 privée de A.

2°) Un calcul élémentaire conduit à :

L'équation dans le plan complexe du cercle (U) peut s'écrire | z | = 1.

Or Z + 1 = Z - (-1) est l'affixe du vecteur A'M, de même Z - 1 est l'affixe de AM. Nous avons donc AM = A'M : M décrit la médiatrice du segment [AA'] : axe des ordonnées.

3°) Dire que m est intérieur à (U) revient à dire | z | < 1, c'est à dire concernant M :

Géométriquement, cette inégalité équivaut à MA'/MA < 1 : c'est dire que le point M décrit le demi-plan contenant A', de frontière Δ, médiatrice de [AA'] :


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