ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une courbe (oral École Centrale, 1914)                  Niveau Sup

Dans le Bulletin des élèves de Mathématiques Spéciales, n°13 du 15 mai 1914, on trouve cet exercice :

L'énoncé est sibyllin. Aucune indication n'est donnée et la solution, reproduite in fine, à ne pas consulter maintenant..., ne fait aucune allusion à l'étude du sens de variation de la fonction x → y.

Posons :

- A -

1°/ Montrer qu'en posant f(0) = 0, on prolonge f par continuité sur R tout entier.

2°/ Montrer que f admet des nombres dérivés distincts à droite à gauche en zéro que l'on précisera (on reviendra à la définition de la dérivée en recherchant la limite en zéro de f(x)/x, taux d'accroissement de f en zéro puisque f(0) = 0.

3°/ On suppose x non nul, calculer f'(x) et montrer que ce nombre dérivé est du signe de g(x). En déduire que f est strictement croissantes sur R+.

- B -

Dans cette partie, on suppose x < 0, on pose z = e^1/x et

1°/ Justifier l'équivalence : y = f(x), x ∈ R^-*  ⇔   y = φ(z), z ∈ ]0,1[.

2°/ Montrer que φ'(z) est du signe de N(z) = - (1 + 1/z + ln z). Étudier les variations de N sur ]0,1[; en déduire celles de φ.

3°/ En revenant à f(x) = φ(e^1/x), justifier que f croît strictement sur R^-* et préciser ses limites.

4°/ Justifier que la courbe (C) représentative de f admet la droite d'équation y = x/2 - 1/4 comme asymptote au voisinage de ±∞.

(C) : y = f(x) et son asymptote oblique y = x/2 - 1/4