ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul d'une somme élémentaire de nombres relatifs #1         niveau 5è
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L'initiation au calcul sur les nombres relatifs en classe de 5ème est souvent mal assimilée par l'introduction systématique et excessive de parenthèses dans les écritures de ces nombres. Elle embrouille l'élève "moyen" et décourage l'élève "en difficulté". Dans la vie courante, on n'écrirait pas qu'il fait (-8°) dans le jardin, encore moins qu'il fait (+28°) : il fait -8°, il fait 28°. Les manuels sont les principaux fautifs de cette pédagogie qui se perpétue jusqu'en 4ème : les programmes ne font aucunement obligation de cet usage immodéré de parenthèses pour traiter des nombres relatifs.

 ➔  En classe de 4ème, il est impératif de se débarrasser des parenthèses inutiles en restreignant leur rôle (fondamental) aux règles de priorités liées à des écritures de calcul complexes : présence de facteurs, puissances, etc. Les élèves acceptent  très vite l'absence de distinguo entre les signes des nombres (+ et -) et les signes opératoires + et -  notés de la même façon par le professeur. Un nombre signé apparaît alors implicitement comme un opérateur : +2 équivaut à ajouter 2, -10 équivaut à retirer 10.

On se limite, sur cette page, aux calculs "en chaîne" ne comportant que des additions ou soustractions. Supposons que ♦ désigne un nombre arithmétique (non signé) comme 2 ou 7,23. Les règles de suppression des parenthèses se résument ainsi :

+(+♦) = +♦ +(-♦) = -♦ Convention pratique : afin encore d'alléger l'écriture, un nombre positif peut être privé de son signe + s'il n'est précédé d'aucune opération. Par exemple :
 -(+♦) = -♦ -(-♦) = +♦ Règle de priorité des parenthèses : si des opérations apparaissent dans une parenthèse, elles doivent être effectuées en priorité.
Par exemple :  

Parenthèses imbriquées : On appelle ainsi des parenthèses à l'intérieur d'une parenthèse, la priorité s'applique à la plus « intérieure ». Pour une meilleure lecture, on utilise des crochets. Par exemple :
        

Au collège et au lycée, tant qu'on ne maîtrise pas bien le calcul algébrique, ne jamais écrire des égalités à la suite les unes des autres dans un calcul en chaîne (qu'on a tort d'appeler souvent "en ligne") car on aboutit à des absurdités en confondant résultat global et calcul partiel (intermédiaire). On voit par exemple ce type d'erreur :

-3 + 2 + 10 - (-7) = -1 + 10 =  9 + 7 = 16 :
le compte est bon... mais il est pourtant faux d'écrire que -1 + 10 = 16 !!!

   !   -1 + 10 était un calcul partiel auquel il fallait immédiatement ajouter 10
 Enfin, il faut toujours (tant qu'on ne maîtrise pas le calcul algébrique) faire les calculs dans l'ordre de leur écriture. Sinon, le pire peut arriver. Voici un cas très simple d'erreur très classique... :

Calculer A = 3 - (-5) + 5

L'élève (même le "bon") est tenté de penser que (-5) + 5 = 0, donc A = 3 - 0 = 3. Hélas (-5) était en soustraction (soustrait à 3) et le bon calcul est alors :

A = 3 - (-5) + 5
   =  3  + 5   + 5
   =     8      + 5
 A = 13

∗∗∗
Calculer mentalement (1ère colonne) - Vérifier (dernière colonne)

Expression
« parenthésée »		 Expression
simplifiée		 Calcul
intermédiaire		 Calcul
intermédiaire		 Calcul
intermédiaire		 Valeur
numérique
(+2) + (+3) 2 + 3 /// /// /// +5 
(ou simplement 5)
(+2) - (+3) 2 - 3 /// /// /// -1
(+2) + (-3) 2 - 3 /// /// /// -1
(+2) - (-3) 2 + 3 /// /// /// +5
(-2) + (+3) -2 + 3 /// /// /// +1
(-2) - (+3) -2 - 3 /// /// /// -5
(-2) + (-3) -2 - 3 /// /// /// -5
(-2) - (-3) -2 + 3 /// /// /// +1
- (+3) - (-3) -3 + 3 /// /// /// 0
-(-2) - (-3) 2 + 3 /// /// /// +5
(+2) - (+3) + (-5) 2 - 3 - 5 -1 - 5 /// /// -6
10 - (-2) - (-3) 10 + 2 + 3 12 + 3 /// /// 15
(-2) + (-3) + (-5) -2 - 3 - 5 -5 - 5 /// /// -10
(-2) - (+3) - (-5) -2 - 3 + 5 -5 + 5 /// /// 0
- (+1) - (-2) - (+3) -1 + 2 - 3 1 - 3 /// /// -2
- (-10) - (+2) + (-3) 10 - 2 - 3 8 - 3 /// /// +5
2 + [+3 - (-5)] 2 + (3 + 5) 2 + 8 /// /// 10
2 - [+3 - (-5)] 2 - (3 + 5) 2 - 8 /// /// -6
2 + (-3) + [5 + (-7)] 2 - 3 + (5 - 7) -1 + (-2) -1 - 2 /// -3
2 - [+3 - (+5 - 7)] 2 - [3 - (5 - 7)] 2 - [3 - (-2)] 2 - [3 + 2] 2 - 5 -3


Et maintenant, entraîne-toi ! L'ordinateur te posera 10 calculs et te donnera son avis... :
Les nombres affichés sont entiers pour éviter les tracas de calcul, l'objectif étant ici de maîtriser la règle des signes et la suppression des parenthèses. L'ordinateur te placera quelques fois des parenthèses inutiles. A toi de déjouer les feintes de la machine...

  La calculatrice est bien sûr interdite !!!

Mais un crayon et une feuille de brouillon sont souhaitables

 !   Ne pas mettre d'espaces entre les signes et les nombres   !
 On peut obtenir la réponse sans rien écrire : cliquez sur OK

                      

  ➔   Élèves, professeurs, internautes, merci de me signaler tout dysfonctionnement dans ces programmes

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