ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Des parallélogrammes...     Un TD niveau 5è/4è

Combien comptez-vous de parallélogrammes dans cette figure ?

  Trop facile, d'accord ?

Alors on essaye avec :

  C'était plus long mais faisable, non ?..

 

Et enfin, avec :

Si tu sèches après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Il y a 3 types de parallélogrammes. Ceux qui ont :

Mais par rotations successives (dans le sens des aiguilles d'une montre, par exemple), on voit que les cas 2 et 3 deviennent le cas 1. Dénombrons donc les parallélogrammes du cas 1 et multiplions par 3.

1er cas/ (3 sur 3) :

Base simple :

dimensions

col=1

col= 2

col= 3

haut=1

2

1

0

haut= 2

1

0

0

 Base double :

dimensions

col=1+2

col= 2+3

haut=1

1

0

haut= 2

0

0

Base triple : néant.

Donc en tout : (4 + 1) 3 = 15 parallélogrammes

2ème cas/ (4 sur 4) :

Base simple :

dimensions

col=1

col= 2

col= 3

col= 4

haut=1

3

2

1

0

haut= 2

2

1

0

haut= 3

1

0

haut= 4

0

Total : 10

 Base double :

dimensions

col=1+2

col= 2+3

col= 3+4

haut=1

2

1

0

haut= 2

1

0

1

haut= 3

0

Total : 5

 Base triple :

dimensions

col=1+2+3

col= 2+3+4

haut=1

1

0

haut= 2

0

Total : 1

Base quadruple : néant

Donc en tout : (10 + 5 + 1) 3 = 48 parallélogrammes

3ème cas/ (6 sur 6) :

Base simple :

dimensions

col=1

col= 2

col= 3

col= 4

col= 5

col= 6

haut=1

5

4

3

2

1

0

haut= 2

4

3

2

1

0

haut= 3

3

2

1

0

haut= 4

2

1

0

haut= 5

1

0

sous-totaux

15

10

6

3

1

Total = 35

 Base double :

dimensions

col=1+2

col= 2+3

col= 3+4

col= 4+5

col= 5+6

haut=1

4

3

2

1

0

haut= 2

3

2

1

0

haut= 3

2

1

0

haut= 4

1

0

haut= 5

0

sous-totaux

10

6

3

1

Total = 20

 Base triple :

dimensions

col=1+2+3

col= 2+3+4

col= 3+4+5

col= 4+5+6

haut=1

3

2

1

0

haut= 2

2

1

0

haut= 3

1

0

haut= 4

0

sous-totaux

6

3

1

Total = 10

 Base quadruple :

dimensions

col=1+2+3+4

col= 2+3+4+5

col= 3+4+5+6

haut=1

2

1

0

haut= 2

1

0

haut= 3

0

sous-totaux

3

1

Total = 4

 Base quintuple :

dimensions

col=1+2+3+4+5

col= 2+3+4+5+6

haut=1

1

0

haut= 2

0

sous-totaux

1

Total = 1

Nous dénombrons ainsi : 35 + 20 + 10 + 4 + 1 = 70 parallélogrammes

En conclusion, il y a donc 210 parallélogrammes dans cette figure. Ouf !


© Serge Mehl - www.chronomath.com