ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Abreuvoir #2    (solution)     niveau Sup         Abreuvoir (calcul de volume), niveau 2nde/1ère

L'aire des trapèzes de base doit être maximale. Calculons cette aire : elle est fonction de et de l'angle â comme indiqués sur la figure.

L'aire A est donnée par la formule bien connue (B + b)h/2 qui conduit après simplification à :

A = 1,5.sinâ - 22sinâ + 2sinâ.cosâ

On applique la condition nécessaire d'extremum, à savoir :

A/ = A/â = 0

Le calcul des dérivées partielles est simple. On devra trouver :

Les cas sinâ = 0 et = 0 étant évidemment à rejeter, on tire de la première condition :

= 0,75/(2 - cosâ)

et on reporte dans la seconde où l'on remplacera cos2a par 2cos2a - 1. On trouvera sans difficulté la réponse simplissime cosâ = 1/2, correspondant donc à un angle de 60°.

D'où = 0,5 : on constate donc qu'il faut plier la plaque au 1/3 et au 2/3.

Partant d'un volume nul (â = 0), le pliage augmente le volume : notre extremum est plus que certainement un maximum...

Mais on peut vérifier cela en calculant les dérivées partielles d'ordre 2 au point trouvé :

D = 2A/2 2A/2 - (2A/2)2 est donc strictement positif avec 2A/2 > 0 : c'est un maximum.


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