ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Produit de cubes...     niveau Ter SpéMath / Sup

On se propose de prouver ici le résultat suivant, utilisé dans la preuve du cas n = 3 du grand théorème de Fermat-Wiles :

1°/ Un entier c est un cube si et seulement si c s'écrit comme produit du type p₁^u p₂^v ...  p_k^w où les p_i sont deux à deux premiers entre eux et les exposants u, v, ..., w sont multiples de 3.

Par définition, un cube est de la forme c = n³ et tout entier naturel n admet une unique décomposition en un produit de facteurs premiers p₁^α p₂^β ... p_k^γ où les p_i sont deux à deux premiers entre eux; par suite :

c = p₁^3α p₂^3β ... p_k^3γ = p₁^u p₂^v... p_k^w    et  u = 3α, v = 3β, ..., w = 3γ sont multiples de 3

Inversement, toute écriture de cette forme est le cube de p₁^α p₂^β ... p_k^γ.

2°/ On suppose que a x b est un cube; si a est un cube, alors b aussi (et vice versa bien sûr).

Si un produit ab est un cube c³ et a = p³, alors b =  c³/p³ = (c/p)³ : c'est dire que p divise c et que b est un cube.

3°/ On suppose que ab est un cube avec a et b premiers entre eux; alors l'un des deux entiers a et b est un cube.

Supposons que ab est un cube avec a et b premiers entre eux mais que ni a ni b ne sont des cubes. Ces entiers admettent une unique décomposition en produits de facteurs premiers :

• a = p₁^α p₂^β ... p_m^γ

• b = q₁^α' q₂^β' ... q_n^γ'

Comme a et b sont premiers entre eux, les p_i et q_j sont distincts deux à deux. Les entiers a et b n'étant pas des cubes, au moins un des exposants dans la décomposition de a et de b n'est pas multiple de 3. Par conséquent, la décomposition du produit ab en produits de facteurs premiers n'est pas conforme au critère montré en 1° :  ab ne peut être un cube.

4°/ Conclusion : on a montré en 3° que si ab est un cube, alors l'un des entiers a et b en est un. En 2°, on a montré que si l'un des deux est un cube l'autre aussi. En définitive :

si un produit ab d'entiers premiers entre eux est un cube, alors chacun d'eux en est un.