ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Un calcul d'aire et de minimax...            niveau TerS /Sup

Voici, sur l'intervalle [-4,4], une représentation graphique de la fonction f définie par :

1°/ Sans étudier le sens de variation de f, mais en résolvant l'équation f(x) = m, m réel et s'aidant du graphique justifier que f passe par un maximum M = 2 = f(1) et un minimum m = -2/3 = f(-1).

2°/ Vérifier les résultats obtenus en 1°/ en étudiant le signe de la fonction dérivée de f.

Niveau Sup :  

Le résultat trouvé coïncide t-il avec l'aire coloriée en jaune ?
Donner la valeur exacte de cette aire (en unités d'aire) et vérifier graphiquement la vraisemblance de votre résultat.

1°/ x² - x + 1 est distinct de 0 pour tout x (le discriminant de ce trinôme est -3 < 0). L'équation proposée

s'avère alors équivalente à :

mx² - (m - 2)x + m = 0

Le cas m = 0 est trivial et fournit x = 0 avec f(0) = 0 : la droite d'équation y = 0 (axe des abscisses) rencontre la courbe en l'origine.

Lorsque m est non nul, le discriminant de cette équation est Δ = -3m² - 4m + 4. Étudions son signe en recherchant ses zéros : on trouve sans difficultés m = -2/3 et m = 2. Le coefficient de Δ est -3 < 0. En conclusion :

• si m < -2/3 ou m > 2 : pas de solutions.

• m = -2/3 ou m = 2 : solution double

• -2/3 < m < 2 : 2 solutions.

L'observation du graphique permet maintenant d'affirmer sans ambiguïté que la droite d'équation y = m coupe la courbe en 2 points distincts si et seulement si -2/3 < m < 2. Les solutions doubles correspondent :

• à un minimum égal à -2/3. On a alors (-2x² - 4x - 2)/3 = 0, soit 2(x + 1)² = 0 , donc x = -1: ce que confirme le graphique.

• à un maximum égal à 2. On a alors 2x² - 4x + 2 = 0, soit 2(x - 1)² = 0 , donc x = 1: ce que confirme le graphique.

2°/ Un calcul simple (dérivée de la forme u/v) conduit à :

f ' est de signe opposé à x² - 1 = (x + 1)(x - 1), donc positive sur [-1,1], négative en dehors et s'annule en -1 et 1.

On établira aisément le tableau de variation de f s'avérant ainsi croissante sur l'intervalle [-1,+1] et confirmant ainsi les valeurs minimales et maximales de f sur l'intervalle d'étude.

3°/  On peut décomposer f(x) de la façon suivante :

Une primitive de u'/u étant ln | u |, le premier terme de cette décomposition s'intègre immédiatement en ln(x² - x + 1), la valeur absolue étant inutile vu que le discriminant de x² - x + 1 est -3 < 0.

Étudions le second terme en écrivant :

Ce qui peut encore s'écrire sous la forme :

dont une primitive est tout simplement :     » fonction Arc tangente

Finalement, une primitive de f est :

L'intégrale demandée est donc J = F(1) - F(-1).

• F(1) = 0 + 2Atn(1/√3)/√3 = π/3√3.

• F(-1) = ln3  +  2Atn(- √3)/√3 = ln3 - 2π/3√3

Finalement J = π/√3 - ln3, soit sensiblement J = 0,715.

J ne correspond pas à l'aire A coloriée en jaune : en se fiant au graphique, f est positive sur [0,1] et négative sur [-1,0], l'aire coloriée est donc la somme entre l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0,1], à savoir :

• F(1) - F(0)

et l'aire au-dessus de la courbe sur l'intervalle [-1,0], à savoir :

• | F(0) - F(-1) | = F(1) - F(0)

A = F(1) + F(-1) - 2F(0) = ln3 + π/3√3 ≅ 1,70

 ➔  Une approche approximative de A, obtenue en comptant le nombre n de rectangles coloriés correspondant sur le graphique à 1/4 d'unité d'aire, conduit à 6 < n < 7, soit   1,5 < A < 1,75 : ce qui semble confirmer le résultat trouvé.