ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Un calcul d'aire et de minimax...            niveau TerS /Sup

Voici, sur l'intervalle [-4,4], une représentation graphique de la fonction f définie par :

1°/ Sans étudier le sens de variation de f, mais en résolvant l'équation f(x) = m, m réel et s'aidant du graphique justifier que f passe par un maximum M = 2 = f(1) et un minimum m = -2/3 = f(-1).

2°/ Vérifier les résultats obtenus en 1°/ en étudiant le signe de la fonction dérivée de f.

Niveau Sup :  

Le résultat trouvé coïncide t-il avec l'aire coloriée en jaune ?
Donner la valeur exacte de cette aire (en unités d'aire) et vérifier graphiquement la vraisemblance de votre résultat.

 

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 




 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

Réponse :

1°/ x2 - x + 1 est distinct de 0 pour tout x (le discriminant de ce trinôme est -3 < 0). L'équation proposée

s'avère alors équivalente à :

mx2 - (m - 2)x + m = 0

Le cas m = 0 est trivial et fournit x = 0 avec f(0) = 0 : la droite d'équation y = 0 (axe des abscisses) rencontre la courbe en l'origine.

Lorsque m est non nul, le discriminant de cette équation est Δ = -3m2 - 4m + 4. Étudions son signe en recherchant ses zéros : on trouve sans difficultés m = -2/3 et m = 2. Le coefficient de Δ est -3 < 0. En conclusion :

L'observation du graphique permet maintenant d'affirmer sans ambiguïté que la droite d'équation y = m coupe la courbe en 2 points distincts si et seulement si -2/3 < m < 2. Les solutions doubles correspondent :

2°/ Un calcul simple (dérivée de la forme u/v) conduit à :

f ' est de signe opposé à x2 - 1 = (x + 1)(x - 1), donc positive sur [-1,1], négative en dehors et s'annule en -1 et 1.

On établira aisément le tableau de variation de f s'avérant ainsi croissante sur l'intervalle [-1,+1] et confirmant ainsi les valeurs minimales et maximales de f sur l'intervalle d'étude.

3°/  On peut décomposer f(x) de la façon suivante :

Une primitive de u'/u étant ln | u |, le premier terme de cette décomposition s'intègre immédiatement en ln(x2 - x + 1), la valeur absolue étant inutile vu que le discriminant de x2 - x + 1 est -3 < 0.

Étudions le second terme en écrivant :

Ce qui peut encore s'écrire sous la forme :

dont une primitive est tout simplement :     fonction Arc tangente

Finalement, une primitive de f est :

L'intégrale demandée est donc J = F(1) - F(-1).

Finalement J = π/3 - ln3, soit sensiblement J = 0,715.

J ne correspond pas à l'aire A coloriée en jaune : en se fiant au graphique, f est positive sur [0,1] et négative sur [-1,0], l'aire coloriée est donc la somme entre l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0,1], à savoir :

et l'aire au-dessus de la courbe sur l'intervalle [-1,0], à savoir :

A = F(1) + F(-1) - 2F(0) = ln3 + π/33 1,70

Une approche approximative de A, obtenue en comptant le nombre n de rectangles coloriés correspondant sur le graphique à 1/4 d'unité d'aire, conduit à 6 < n < 7, soit   1,5 < A < 1,75 : ce qui semble confirmer le résultat trouvé.


© Serge Mehl - www.chronomath.com