ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Casse-tête "moyen"   solutions mathématique et informatique...     niveau 1èreS/TerS

1. Soit ma et mg les moyenne arithmétique et géométrique de deux entiers a et b.

2. Trouver deux nombres entiers distincts a et b non nuls, n'excédant pas 100, de moyenne arithmétique ma et géométrique mg entières, tels que mg soit obtenu en permutant les chiffres des unités et des dizaines de ma.

 Indications : on posera ma = 10m + n et on recherchera m et n entre 0 et 9 en remarquant m > n.

3. Nonobstant les vociférations des puristes, on peut, à des fins purement ludiques, donner une solution informatique en donnant à l'ordinateur quelques formules à grignoter sans effort d'analyse...

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1.

On remarque ainsi que :

Or ma - mg est du signe de ma2 - mg2 donc du signe de (a - b)2. Donc si a et b distincts, on a ma - mg > 0, c'est à dire ma > mg.

2. Puisque a et b sont supposés distincts, en posant ma = 10m + n, on a 10m + n > 10n + m, soit : 9(m - n) > 0, donc m > n. On a l'égalité :

Or ma = (a + b)/2 étant entier, il en est de même de (a - b)/2 = (a + b)/2 - b.

Par conséquent, m2 - n2 doit être de la forme 11k2 avec k entier naturel non nul.

Mais m2 - n2 = (m + n)(m - n); m et n n'excédant pas 9, m + n doit être multiple de 11 et inférieur à 18, donc m + n = 11.

C'est dire que m - n est un carré parfait : m - n = k2. On est alors conduit au tableau des possibilités :

années
2
3
4
5
m
9
8
7
6
m - n
7
5
3
1

Seul m - n = 1 est un carré; donc (m,n) = (6,5) et la solution du problème est :

a = 98, b = 32

Vérification :      

Programmation JavaScript de cette recherche :

a étant distinct de b, on peut supposer b > a (par symétrie); faisons varier a de 1 à 100, b de a + 1 à 100; on récupère m et n dans ma = 10m + n, on permute pour trouver 10n + m et on compare à mg tant que faire se peut... :

Pour a variant de 1 à 100, faire :

Pour b variant de a + 1 à 100, faire :
s = a + b ; mg = racine de ab;
Si (s est pair , s >=20 , mg >= 10 , mg entier) Alors
ma = s/2 ; n = ma modulo 10 ; m = (ma - n)/10; permut = 10n + m

Si mg = permut, Alors Afficher a et b

Fin Si

Fin boucle b

Fin boucle a

Ce qui conduit, en JavaScript, à :


 
<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
for(a=1;a<=100;a++)
{
for(b=a+1;b<=100;b++)
{
s=a+b;mg=Math.sqrt(a*b);
if(s>=20 && mg>=10 && s%2==0 && mg==Math.floor(mg))
{
ma=s/2;n=ma%10;m=(ma-n)/10;permut=10*n+m;
if(mg==permut)
{alert("a="+a+"\n"+"b="+b+"\n"+"ma="+ma+" , mg="+mg)}
}
}
}
}
</SCRIPT>


 Code HTML du formulaire permettant de lancer les calculs :

<CENTER>
<HR>
<INPUT TYPE=button NAME=Bouton VALUE="Lancer le programme" onclick="go()">
<HR>
</CENTER>


Le programme trouve immédiatement l'unique solution  :

a = 32 , b = 98 , ma = 65 , mg = 56


© Serge Mehl - www.chronomath.com