Casse-tête "moyen"

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Casse-tête "moyen" solutions mathématique et informatique... niveau 1èreS/TerS

1. Soit m_a et m_g les moyenne arithmétique et géométrique de deux entiers a et b.

Montrer que m_a = m_g n'a lieu que si a = b et que, sinon, m_a > m_g.

2. Trouver deux nombres entiers distincts a et b non nuls, n'excédant pas 100, de moyenne arithmétique m_a et géométrique m_g entières, tels que m_g soit obtenu en permutant les chiffres des unités et des dizaines de m_a.

➔ Indications : on posera m_a = 10m + n et on recherchera m et n entre 0 et 9 en remarquant m > n.

3. Nonobstant les vociférations des puristes, on peut, à des fins purement ludiques, donner une solution informatique en donnant à l'ordinateur quelques formules à grignoter sans effort d'analyse...

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

Solution :

On remarque ainsi que :

Or m_a - m_g est du signe de m_a² - m_g² donc du signe de (a - b)². Donc si a et b distincts, on a m_a - m_g > 0, c'est à dire m_a > m_g.

2. Puisque a et b sont supposés distincts, en posant m_a = 10m + n, on a 10m + n > 10n + m, soit : 9(m - n) > 0, donc m > n. On a l'égalité :

Or m_a = (a + b)/2 étant entier, il en est de même de (a - b)/2 = (a + b)/2 - b.

Par conséquent, m² - n² doit être de la forme 11k² avec k entier naturel non nul.

Mais m² - n² = (m + n)(m - n); m et n n'excédant pas 9, m + n doit être multiple de 11 et inférieur à 18, donc m + n = 11.

C'est dire que m - n est un carré parfait : m - n = k². On est alors conduit au tableau des possibilités :

années	2	3	4	5
m	9	8	7	6
m - n	7	5	3	1

Seul m - n = 1 est un carré; donc (m,n) = (6,5) et la solution du problème est :

a = 98, b = 32

Vérification :

Programmation JavaScript de cette recherche :

a étant distinct de b, on peut supposer b > a (par symétrie); faisons varier a de 1 à 100, b de a + 1 à 100; on récupère m et n dans m_a = 10m + n, on permute pour trouver 10n + m et on compare à m_g tant que faire se peut... :

Pour a variant de 1 à 100, faire :

Pour b variant de a + 1 à 100, faire :

s = a + b ; mg = racine de ab;

Si (s est pair , s >=20 , mg >= 10 , mg entier) Alors
ma = s/2 ; n = ma modulo 10 ; m = (ma - n)/10; permut = 10n + m
Si mg = permut, Alors Afficher a et b

Fin Si

Fin boucle b

Fin boucle a

Ce qui conduit, en JavaScript, à :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
for(a=1;a<=100;a++)
{
for(b=a+1;b<=100;b++)
{
s=a+b;mg=Math.sqrt(a*b);
if(s>=20 && mg>=10 && s%2==0 && mg==Math.floor(mg))
{
ma=s/2;n=ma%10;m=(ma-n)/10;permut=10*n+m;
if(mg==permut)
{alert("a="+a+"\n"+"b="+b+"\n"+"ma="+ma+" , mg="+mg)}
}
}
}
}
</SCRIPT>

Le programme trouve immédiatement l'unique solution :

a = 32 , b = 98 , m_a = 65 , m_g = 56