ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une application du théorème d'Al-Kashi  #1        niveau 1èreS
   
(théorème de Pythagore généralisé)          #2  (niveau TerS)

Il s'agit ici de prouver un résultat semblant bien évident mais qui demande une preuve. On trouvera ici une démonstration purement géométrique. L'objectif est ici d'utiliser une méthode fonctionnelle :

On considère un triangle ABC. Les mesures AB et AC sont données (fixées). Montrer que la mesure du côté [BC] est une fonction strictement croissante de l'angle ^BAC.

En TerS : on justifiera inversement que l'angle ^BAC est une fonction strictement croissante de la mesure BC.

Rappel : si l'on pose x = BC, b = AC, c = AB, Â = ^BAC. Selon Al-Kashi, on a : x2 = b2 + c2 - 2bc.cosÂ.

On supposera AC AB. On posera x = BC et f(x) = cos^BAC. On étudiera les variations de f afin d'en déduire les variations de ^BAC en fonction de x. Ci-dessous vous pouvez déplacer B et C. En conséquence de ce résultat, si deux triangles ABC et A'B'C' sont donnés tels que AB = A'B' et AC = A'C', alors si BC > B'C', alors ^BAC > ^B'A'C'.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

Posons pour simplifier les écritures : x = BC, b = AC, c = AB, Â = ^BAC. Selon Al-Kashi, on a :

x2 = b2 + c2 - 2bc.cosÂ

Posons y  = cosÂ. les mesures b et c étant fixés, le nombre y est une fonction f de la variable x. On obtient :

f(x) est un polynôme du second degré en x. f est donc dérivable sur R+ et f '(x) = -x/bc < 0.

En supposant AC AB, on remarque que, x varie entre b - c (cas extrême  = 0) et b + c (cas extrême  = 180°). y s'annule lorsque x2 = b2 + c2 : cas du triangle ABC rectangle en A (cos = 0,  = 90°). Dressons le tableau de variation :

La dernière ligne exprime la variation de  en fonction du cosinus (résultat élémentaire du cours de 1ère).

En TerS : l'angle  apparait comme une fonction g continue de x, strictement croissante. La fonction g établit donc une bijection de [b - c, b + c] sur [0,180]. Réciproquement g-1 établit une bijection de [0,180] sur [b - c, b + c] ayant le même sens de variation : x = BC est donc une fonction strictement croissante de Â.


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